Multi-agent genetic algorithm based on fuzzy clustering in solving multi-objective optimization problems

Akopov, Andranick; Belousov, Fedor; Beklaryan, Gayane; Beklaryan, Levon; Khachatryan, Nerses

doi:10.18254/S207751800009622-3

English

Home>Issue 2>Multi-agent genetic algorithm based on fuzzy clustering in solving multi-objective optimization problems

Multi-agent genetic algorithm based on fuzzy clustering in solving multi-objective optimization problems

Table of contents

Annotation Estimate Publication content

References Comments

Multi-agent genetic algorithm based on fuzzy clustering in solving multi-objective optimization problems

Annotation

PII

S207751800009622-3-1

DOI

10.18254/S207751800009622-3

Publication type

Article

Статус публикации

Published

Authors

Andranick Akopov Send message

Occupation: Principal Scientific Researcher
Affiliation: Central Economics and Mathematics Institute, Russian Academy of Sciences
Address: Russian Federation, Moscow

Fedor Belousov

Affiliation: Central Economic and Mathematic Institute, Russian Academy of Sciences
Address: Russian Federation, Moscow

Gayane Beklaryan

Occupation: Senior Research Scholar
Affiliation: Central Economics and Mathematics Institute, Russian Academy of Sciences
Address: Russian Federation, Moscow

Levon Beklaryan

Affiliation: Central Economics and Mathematics Institute, Russian Academy of Sciences
Address: Russian Federation, Moscow

Nerses Khachatryan

Occupation: Leading Researcher
Affiliation: Central Economics and Mathematics Institute, Russian Academy of Sciences
Address: Russian Federation, Moscow

Edition

Volume 15 Issue 2

Abstract

This article presents a new multi-agent genetic algorithm based on fuzzy clustering for solving multi-objective optimization problems in systems of the "black box" type. The central element of such a genetic algorithm (GA) is the proposed fuzzy clustering procedure, which allows forming subgroups of potential solutions taking into account the distance between them in the criteria space and other important characteristics, in particular, their individual contribution to the hypervolume metric, distance to the nearest solution, etc. The developed multi-agent genetic algorithm was tested and validated using well-known test instances (in particular, the Binh and Korn function, the Fonseca–Fleming function, etc.) and the best efficiency of the proposed method was demonstrated in comparison with other known GAs (e.g., SPEA, SPEA2, NSGA-II) according to the criteria for assessing the quality of the Pareto-front, in particular, the Logarithmic Hypervolume (LHV), Inverted Generational Distance (IGD), etc.

Keywords

genetic algorithm, multi-agent system, Pareto-front, multi-objective optimization, fuzzy clustering

Received

29.04.2020

Date of publication

09.06.2020

Number of purchasers

Views

985

Readers community rating

0.0 (0 votes)

Cite Download pdf

To download PDF you should sign in

GOST	Akopov A., Beklaryan G., Beklaryan L., Belousov F., Khachatryan N. Multi-agent genetic algorithm based on fuzzy clustering in solving multi-objective optimization problems // Artificial societies. – 2020. – V. 15. – Issue 2 [Electronic resource]. URL: https://artsoc.jes.su/s207751800009622-3-1/ (circulation date: 29.09.2021). DOI: 10.18254/S207751800009622-3
MLA	Akopov, Andranick, Beklaryan, Gayane, Beklaryan, Levon, Belousov, Fedor, Khachatryan, Nerses "Multi-agent genetic algorithm based on fuzzy clustering in solving multi-objective optimization problems." Artificial societies. 15.2 (2020). DOI: 10.18254/S207751800009622-3
APA	Akopov A., Beklaryan G., Beklaryan L., Belousov F., Khachatryan N. (2020). Multi-agent genetic algorithm based on fuzzy clustering in solving multi-objective optimization problems. Artificial societies. 15(2). DOI: 10.18254/S207751800009622-3

Additional services access

Additional services for the article

Services benefits

100 RUB / 1.0 SU

Additional services for all issues for 2020

Services benefits

1200 RUB / 24.0 SU

Введение

В настоящее время развивается новое направление, относящееся к проектированию интеллектуальных систем поддержки принятия решений социально-экономического и экологического планирования [1]. Особенностью подобных систем является наличие множественных ограничений и целевых функций, которые не могут быть представлены аналитически и, как правило, являются результатом имитационного моделирования. Поэтому такие системы, в которых применение более точных ньютоновских методов оптимизации [13] невозможно или существенно затруднено, относят к классу «black box optimization» («оптимизация черного ящика») [6]. В этом случае, целесообразно применение многокритериальных ГА класса SPEA [17], SPEA2 [10] и NSGA-II [12] и др., основанных на методах прямого эволюционного поиска (т.е. не требующих вычисления производных для оценки градиента целевой функции). Вместе с тем, подобные методы имеют известные недостатки, в частности, относящиеся, к недостаточно эффективной процедуре формирования подгрупп потенциальных решений, основанной, как правило, на турнирной селекции [15], когда, все особи популяции разбиваются на подпопуляции, как правило, одинаковой размерности с последующим выбором в каждой из них родительских особей с наилучшей приспособленностью (для генерации особей-потомков). При этом, формирование таких подгрупп основано на простом разбиении популяции потенциальных решений без учета их индивидуальных характеристик (например, близости друг к другу в пространстве критериев). В результате, формируемые подпопуляции могут состоять из близких (почти одинаковых) решений, а также решений, локализованных преимущественно на удалении от истинного фронта Парето.

В настоящее время развивается новое направление, относящееся к проектированию интеллектуальных систем поддержки принятия решений социально-экономического и экологического планирования [1]. Особенностью подобных систем является наличие множественных ограничений и целевых функций, которые не могут быть представлены аналитически и, как правило, являются результатом имитационного моделирования. Поэтому такие системы, в которых применение более точных ньютоновских методов оптимизации [13] невозможно или существенно затруднено, относят к классу &laquo;black box optimization&raquo; (&laquo;оптимизация черного ящика&raquo;) [6]. В этом случае, целесообразно применение многокритериальных ГА класса SPEA [17], SPEA2 [10] и NSGA-II [12] и др., основанных на методах прямого эволюционного поиска (т.е. не требующих вычисления производных для оценки градиента целевой функции). Вместе с тем, подобные методы имеют известные недостатки, в частности, относящиеся, к недостаточно эффективной процедуре формирования подгрупп потенциальных решений, основанной, как правило, на турнирной селекции [15], когда, все особи популяции разбиваются на подпопуляции, как правило, одинаковой размерности с последующим выбором в каждой из них родительских особей с наилучшей приспособленностью (для генерации особей-потомков). При этом, формирование таких подгрупп основано на простом разбиении популяции потенциальных решений без учета их индивидуальных характеристик (например, близости друг к другу в пространстве критериев). В результате, формируемые подпопуляции могут состоять из близких (почти одинаковых) решений, а также решений, локализованных преимущественно на удалении от истинного фронта Парето.

В настоящее время развивается новое направление, относящееся к проектированию интеллектуальных систем поддержки принятия решений социально-экономического и экологического планирования [1]. Особенностью подобных систем является наличие множественных ограничений и целевых функций, которые не могут быть представлены аналитически и, как правило, являются результатом имитационного моделирования. Поэтому такие системы, в которых применение более точных ньютоновских методов оптимизации [13] невозможно или существенно затруднено, относят к классу «black box optimization» («оптимизация черного ящика») [6]. В этом случае, целесообразно применение многокритериальных ГА класса SPEA [17], SPEA2 [10] и NSGA-II [12] и др., основанных на методах прямого эволюционного поиска (т.е. не требующих вычисления производных для оценки градиента целевой функции). Вместе с тем, подобные методы имеют известные недостатки, в частности, относящиеся, к недостаточно эффективной процедуре формирования подгрупп потенциальных решений, основанной, как правило, на турнирной селекции [15], когда, все особи популяции разбиваются на подпопуляции, как правило, одинаковой размерности с последующим выбором в каждой из них родительских особей с наилучшей приспособленностью (для генерации особей-потомков). При этом, формирование таких подгрупп основано на простом разбиении популяции потенциальных решений без учета их индивидуальных характеристик (например, близости друг к другу в пространстве критериев). В результате, формируемые подпопуляции могут состоять из близких (почти одинаковых) решений, а также решений, локализованных преимущественно на удалении от истинного фронта Парето.

Поэтому, для преодоления обозначенных проблем и обеспечения большего разнообразия отбираемых родительских особей, предлагается применение метода нечёткой кластеризации, впервые предложенного в [8, 9], предназначенного для эффективного разбиения популяции потенциальных решений на кластеры на основе оценки взвешенного расстояния между особями в пространстве критериев, и с учетом индивидуального вклада этих решений (особей) в характеристики качества фронта Парето (например, логарифмический логарифмического гиперобъема (LHV), инвертированного расстояния между поколениями (IGD), мощности множества Парето-оптимальных решений (CPF) и др., подробно описанных в [14]. Отметим, что общая постановка задачи многокритериальной оптимизации в системах типа «черного ящика», имеет следующий вид:

\min F (x) = (f_{1} (x), f_{2} (x), ..., f_{M} (x))

при условии

x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})^{'} \in Ω

где

x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})^{'}

вектор искомых переменных размерностью

n

Ω = \prod_{j = 1}^{n} [a_{j}, b_{j}]

диапазон допустимых решений (

j = 1, 2, . . ., n

индексы искомых переменных),

f_{m} (x)

m-ые целевые функции

(m = 1, 2, . . ., M)

, вычисляемые в результате имитационного моделирования (Рис. 1).

где 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mtext> ..., </mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></math>
 вектор искомых переменных размерностью 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math>
, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Ω</mi><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∏</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mo>[</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>]</mo></mrow></mrow></math>
 диапазон допустимых решений (
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>n</mi></math>
 индексы искомых переменных), 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math>
 m-ые целевые функции 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>M</mi><mo>)</mo></math>
, вычисляемые в результате имитационного моделирования (Рис. 1).

где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mtext> ..., </mtext><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></math> вектор искомых переменных размерностью <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>Ω</mi><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∏</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mo>[</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>]</mo></mrow></mrow></math> диапазон допустимых решений ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>n</mi></math> индексы искомых переменных), <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> m-ые целевые функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>M</mi><mo>)</mo></math> , вычисляемые в результате имитационного моделирования (Рис. 1).

Рисунок 1. Иллюстрация задачи многоцелевой оптимизации «черного ящика».

Отметим, что предлагаемый ГА является многоагентным. При этом, агентами являются процессы, на уровне которых осуществляется собственный эволюционный поиск Парето-оптимальных решений. Подобные агенты-процессы взаимодействуют друг с другом посредством глобальной популяции, обновляемой по результатам выполнения операторов селекции, кроссовера и мутации на локальном уровне каждого агента-процесса.

Таким образом, подобные агенты обновляют глобальную популяцию, которая в свою очередь является поставщиком наилучших потенциальных решений (особей) для агентов-процессов по принципу хорошо известной «островной модели» [3]. Однако, в отличие от островной модели, каждый подобный агент-процесс характеризуется набором некоторых состояний, между которыми заданы переходы, управляемые с использованием метода конечных автоматов («карта состояний агента») (рис. 2).

Рисунок 2. Схема взаимодействия агентов-процессов и карта состояний агента-процесса.

Отметим, что ранее нами были разработаны параллельные многоагентные генетические алгоритмы вещественного кодирования для одноцелевой оптимизации [6], а также для решения задач многоцелевой оптимизации, но с использованием операторов бинарного кодирования и применения метода турнирной селекции [2, 3, 4, 5].

Цель данной статьи – разработка нового многоагентного генетического алгоритма вещественного кодирования (real-coded genetic algorithm) на основе нечёткой кластеризации для решения задач многокритериальной оптимизации в системах типа «черного ящика», обеспечивающего возможность формирования наилучших решений за полиномиальное время и с максимально возможным уровнем качества фронта Парето, оцениваемого с использованием известных метрик (например, LHV, GD, CPF и др.).

Описание многоагентного генетического алгоритма

Особенностью разработанного ГА является процедура формирования подгрупп потенциальных решений на основе метода нечёткой кластеризации (рис. 3). Данный подход позволяет обеспечить большее разнообразие для отбираемых родительских особей, т.к. соответствующие подгруппы сформированы с учетом расстояния между потенциальными решениями в пространстве критериев и других важных характеристик, влияющих на качество формируемого фронта Парето (например, вклада в гиперобъем, расстояния до ближайшего потенциального решения и др.).

Рисунок 3. Блок-схема многоагентного генетического алгоритма.

Здесь,

$K = \{1, 2, ..., |K|\}$ – набор индексов агентов-процессов $|K|$ –общее количество агентов-процессов;
$T_{k} = {1, 2, ..., |T_{k}|}, k \in K$ – набор индексов внешних итераций k-го агента-процесса, $|T_{k}|$ – общее количество внешних итераций;
$G_{t_{k}} = \{1, 2, ..., |G_{t_{k}}|\}, t_{k} \in T_{k}$ – набор внутренних итераций k-го агента-процесса, $|G_{t_{k}}|$ –общее количество внутренних итераций;
${L X, S B X, M S B X, D M S B X}$ – набор операторов кроссовера (где LX – Лаплас-кроссовер, SBX – simulated binary crossover, MSBX – модифицированный SBX-кроссовер, DMSBX – дискретный модифицированный SBX-кроссовер), описанных в [3];
${P M, U M, D U M, S U M}$ – набор операторов мутации (где – степенная мутация, – равномерная мутация, –дискретная равномерная мутация, – масштабируемая равномерная мутация), описанных в [3];
$I_{k} = \{1, 2, ..., |I_{k}|\}, k \in K$ набор индексов особей, принадлежащих k-ому агенту-процессу, $|I_{k}|$ общее количество особей;
$d_{i_{k}}, i_{k} \in I_{k}, k \in K$ – Евклидово расстояние от i-ой особи до ближайшей особи;
вклад i-ой особи $(i_{k} \in I_{k}, k \in K)$ в значение метрики LHV;
$w_{i_{k}}, i_{k} \in I_{k}, k \in K$ – сумма Парето-сил всех особей, которые доминируют i -ую особь («Парето-слабость»);
$x_{i_{k}} (g_{t_{k}}), g_{t_{k}} \in G_{t_{k}}, t_{k} \in T_{k}, k \in K$ – вектор значений искомых переменных, принадлежащих i-ой особи, заданный на момент $g_{t_{k}}$ .

<ul class="docx-publication-list"> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mtext> 2</mtext><mo>,</mo><mtext> ..., </mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>K</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>
 – набор индексов агентов-процессов 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>K</mi></mrow></mfenced></math>
 –общее количество агентов-процессов;</li> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mtext> ..., </mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>}</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math>
 – набор индексов внешних итераций k-го агента-процесса, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
– общее количество внешних итераций;</li> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mtext> ..., </mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math>
 – набор внутренних итераций k-го агента-процесса, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 –общее количество внутренних итераций;</li> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><mi>L</mi><mi>X</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>X</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>M</mi><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>X</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>D</mi><mi>M</mi><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>X</mi><mo>}</mo></math>
 – набор операторов кроссовера (где LX – Лаплас-кроссовер, SBX – simulated binary crossover, MSBX – модифицированный SBX-кроссовер, DMSBX – дискретный модифицированный SBX-кроссовер), описанных в [3];</li> <li> 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><mi>P</mi><mi>M</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>U</mi><mi>M</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>D</mi><mi>U</mi><mi>M</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>S</mi><mi>U</mi><mi>M</mi><mo>}</mo></math>
– набор операторов мутации (где – степенная мутация, – равномерная мутация, –дискретная равномерная мутация, – масштабируемая равномерная мутация), описанных в [3];</li> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mtext> ..., </mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math>
 набор индексов особей, принадлежащих k-ому агенту-процессу, 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math>
 общее количество особей;</li> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math>
 – Евклидово расстояние от i-ой особи до ближайшей особи;</li> <li>вклад i-ой особи 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi><mo>)</mo></math>
 в значение метрики LHV; </li> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math>
 – сумма Парето-сил всех особей, которые доминируют i -ую особь («Парето-слабость»);</li> <li>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math>
 – вектор значений искомых переменных, принадлежащих i-ой особи, заданный на момент 
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></math>
.</li></ul>

<ul class="docx-publication-list"> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>K</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mtext> 2</mtext><mo>,</mo><mtext> ..., </mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>K</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> – набор индексов агентов-процессов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>K</mi></mrow></mfenced></math> –общее количество агентов-процессов;</li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mtext> ..., </mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>}</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math> – набор индексов внешних итераций k-го агента-процесса, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> – общее количество внешних итераций;</li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mtext> ..., </mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> – набор внутренних итераций k-го агента-процесса, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced></math> –общее количество внутренних итераций;</li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><mi>L</mi><mi>X</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>X</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>M</mi><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>X</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>D</mi><mi>M</mi><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>X</mi><mo>}</mo></math> – набор операторов кроссовера (где LX – Лаплас-кроссовер, SBX – simulated binary crossover, MSBX – модифицированный SBX-кроссовер, DMSBX – дискретный модифицированный SBX-кроссовер), описанных в [3];</li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>{</mo><mi>P</mi><mi>M</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>U</mi><mi>M</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>D</mi><mi>U</mi><mi>M</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi>S</mi><mi>U</mi><mi>M</mi><mo>}</mo></math> – набор операторов мутации (где – степенная мутация, – равномерная мутация, –дискретная равномерная мутация, – масштабируемая равномерная мутация), описанных в [3];</li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mtext> ..., </mtext><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math> набор индексов особей, принадлежащих k-ому агенту-процессу, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> общее количество особей;</li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math> – Евклидово расстояние от i-ой особи до ближайшей особи;</li> <li>вклад i-ой особи <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi><mo>)</mo></math> в значение метрики LHV; </li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math> – сумма Парето-сил всех особей, которые доминируют i -ую особь («Парето-слабость»);</li> <li> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi>K</mi></math> – вектор значений искомых переменных, принадлежащих i-ой особи, заданный на момент <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> .</li></ul>

Тогда, фитнес-функция многоагентного генетического алгоритма на основе нечёткой кластеризации может быть определена в следующем виде:

{\tilde{f}}_{i_{k}} ((x_{i_{k}} (g_{t_{k}})) = \frac{h_{i_{k}} ((x_{i_{k}} (g_{t_{k}}))}{1 + w_{i_{k}} ((x_{i_{k}} (g_{t_{k}})) + \frac{1}{2 + d_{i_{k}} ((x_{i_{k}} (g_{t_{k}}))}}

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>~</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>+</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>(</mo><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced></mrow></mfrac></mrow></mfrac></math>
.

Важнейшим элементом разработанного многоагентного ГА является предложенная процедура нечёткой кластеризации (рис. 4), предназначенная для формирования подпопуляции потенциальных решений и последующей селекции родительских особей.

Рисунок 4. Блок-схема алгоритма нечёткой кластеризации.

Разработанная процедура позволяет разбить исходную популяцию потенциальных решений, состоящую как из недоминируемых, так и доминируемых особей на подгруппы с учетом взвешенного расстояния между решениями в пространстве критериев, и другими важными характеристиками (например, LHV). Подобный метод нечёткой кластеризации ранее был нами описан в работе [7] применительно к модели поведения толпы в условиях чрезвычайных ситуаций. Использование процедуры нечёткой кластеризации позволяет сформировать подгруппы с учетом близости особей друг к другу по целому набору критериев, определяющих индивидуальный вклад потенциальных решений в качество фронта Парето. Подобный подход нацелен на достижение большего разнообразия отбираемых из сформированных кластеров родительских решений, участвующих в генерации нового поколения особей-потомков. Кроме того, при кластеризации недоминируемых решений данная процедура позволяет определить центры наиболее плотностных кластеров и обеспечить множественную мутацию потенциальных решений в соответствующем (наиболее перспективном) направлении.

Разработанная процедура позволяет разбить исходную популяцию потенциальных решений, состоящую как из недоминируемых, так и доминируемых особей на подгруппы с учетом взвешенного расстояния между решениями в пространстве критериев, и другими важными характеристиками (например, LHV). Подобный метод нечёткой кластеризации ранее был нами описан в работе [7] применительно к модели поведения толпы в условиях чрезвычайных ситуаций. Использование процедуры нечёткой кластеризации позволяет сформировать подгруппы с учетом близости особей друг к другу по целому набору критериев, определяющих индивидуальный вклад потенциальных решений в качество фронта Парето. Подобный подход нацелен на достижение большего разнообразия отбираемых из сформированных кластеров родительских решений, участвующих в генерации нового поколения особей-потомков. Кроме того, при кластеризации недоминируемых решений данная процедура позволяет определить центры наиболее плотностных кластеров и обеспечить множественную мутацию потенциальных решений в соответствующем (наиболее перспективном) направлении.

Для повышения временной эффективности ГА, процедура нечёткой кластеризации (рис. 4) выполняется только во внешних итерациях для формирования подгрупп потенциальных родительских особей, отбираемых в дальнейшем на каждой внутренней итерации ГА случайным образом.

Результаты тестирования и оптимизации

Для тестирования и валидации разработанного генетического алгоритма применялись следующие хорошо известные тестовые задачи многокритериальной оптимизации [16] (Табл. 1).

Таблица 1. Тестовые задачи многокритериальной оптимизации.

Название тестовой задачи	Постановка задачи	Допустимые диапазоны для искомых переменных
Функци я Бина и Корна	$\{\begin{matrix} f_{1} = 4 x^{2} + 4 y^{2} \\ f_{2} = (x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} \end{matrix}$ при условии $\{\begin{matrix} g_{1} = (x - 5)^{2} + y^{2} \leq 25 \\ g_{2} = (x - 8)^{2} + (y + 3)^{2} \geq 7.7 \end{matrix}$	$0 \leq x \leq 5$ $0 \leq y \leq 3$
Функция Ффонсеки и Флеминга	$\{\begin{matrix} f_{1} = 1 - \exp (- \sum_{j = 1}^{n} {(x_{j} - \frac{1}{\sqrt{n}})}^{2}) \\ f_{2} = 1 - \exp (- \sum_{j = 1}^{n} {(x_{j} + \frac{1}{\sqrt{n}})}^{2}) \end{matrix}$	$0 \leq x_{j} \leq 41 \leq j \leq n$
Двухцелевая функция Полони	$\{\begin{matrix} f_{1} = 1 + {(A_{1} - B_{1})}^{2} + {(A_{2} - B_{2})}^{2} \\ f_{2} = (x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} \end{matrix}$ где $\{\begin{matrix} A_{1} = 0.5 \sin (1) - 2 \cos (1) + \sin (2) - 1.5 \cos (2) \\ \begin{matrix} A_{2} = 1.5 \sin (1) - \cos (1) + 2 \sin (2) - 0.5 \cos (2) \\ B_{1} = 0.5 \sin (x) - 2 \cos (x) + \sin (y) - 1.5 \cos (y) \\ B_{2} = 1.5 \sin (x) - \cos (x) + 2 \sin (y) - 0.5 \cos (y) \end{matrix} \end{matrix}$	$- π \leq x \leq π - π \leq y \leq π$

Таблица 1. Тестовые задачи многокритериальной оптимизации.<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Название тестовой задачи</td><td class="docx-publication-cell"> Постановка задачи </td><td class="docx-publication-cell"> Допустимые диапазоны для искомых переменных</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <a target=_blank href="https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Binh_and_Korn_function&action=edit&redlink=1">Функци</a> я Бина и Корна</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
 при условии <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≤</mo><mn>25</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>8</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><mn>7.7</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>5</mn></math>
 <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>≤</mo><mn>3</mn></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Функция Ффонсеки и Флеминга</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">exp</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">exp</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>41</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></math>
</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Двухцелевая функция Полони</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
 где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>1.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>2</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><malignmark/><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>0.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><malignmark/><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>1.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><malignmark/><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>0.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>
</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?>
<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mi>π</mi><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>π</mi><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>≤</mo><mi>π</mi></math>
</td></tr></table>

Таблица 1. Тестовые задачи многокритериальной оптимизации.<table class="docx-publication-table"><tr><td class="docx-publication-cell"> Название тестовой задачи</td><td class="docx-publication-cell"> Постановка задачи </td><td class="docx-publication-cell"> Допустимые диапазоны для искомых переменных</td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> <a target=_blank href="https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Binh_and_Korn_function&action=edit&redlink=1">Функци</a> я Бина и Корна</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> при условии <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≤</mo><mn>25</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>8</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>≥</mo><mn>7.7</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>5</mn></math> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>≤</mo><mn>3</mn></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Функция Ффонсеки и Флеминга</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">exp</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">exp</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msqrt><mi>n</mi></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>41</mn><mo>≤</mo><mi>j</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></math> </td></tr><tr><td class="docx-publication-cell"> Двухцелевая функция Полони</td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> где <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>1.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>2</mn><mo>)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><malignmark/><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>0.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><malignmark/><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>1.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><malignmark/><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>0.5</mn><mrow><mrow><mi mathvariant="italic">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo></mrow></mrow><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> </td><td class="docx-publication-cell"> <?xml version="1.0" encoding="UTF-16"?> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>-</mo><mi>π</mi><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mi>π</mi><mo>-</mo><mi>π</mi><mo>≤</mo><mi>y</mi><mo>≤</mo><mi>π</mi></math> </td></tr></table>

В таблице 2 представлены результаты оптимизационных экспериментов, выполненные не мене чем стократно для каждой тестовой оптимизационной задачи.

Таблица 2. Тестовые задачи многокритериальной оптимизации.

Метрики эффективности ГА		Генетические алгоритмы
		SPEA	SPEA2	NSGA-II	Многоагентный ГА
		Функция Бина и Корна
LHV	макс.	3.8050	3.8056	3.8048	3.8070
	ср.	3.8030	3.8034	3.8038	3.8068
	мин.	3.8050	3.8015	3.8023	3.8066
IGD	макс.	0.1348	0.1859	0.1528	0.0910
	ср.	0.1178	0.1525	0.1344	0.0829
	мин.	0.0978	0.1338	0.1143	0.0757
CPF	макс.	144	128	125	229
	ср.	135	113	114	209
	мин.	114	104	104	177
		Функция Ффонсеки и Флеминга
LHV	макс.	-0.0197	-0.0243	-0.0245	-0.0142
	ср.	-0.0256	-0.0447	-0.0370	-0.0161
	мин.	-0.0197	-0.0586	-0.0436	-0.0207
IGD	макс.	0.0084	0.0242	0.0226	0.0061
	ср.	0.0062	0.0136	0.0157	0.0046
	мин.	0.0035	0.0077	0.0106	0.0033
CPF	макс.	55	38	25	71
	ср.	29	26	23	64
	мин.	0	18	19	49
		Двухцелевая функция Полони
LHV	макс.	2.7049	2.7014	2.7036	2.7043
	ср.	2.7003	2.6971	2.7006	2.7031
	мин.	2.7049	2.6910	2.6979	2.7019
IGD	макс.	0.1606	0.2651	0.2438	0.1421
	ср.	0.1120	0.1492	0.1575	0.0929
	мин.	0.0603	0.0441	0.0773	0.0650
CPF	макс.	52	30	28	41
	ср.	40	20	24	38
	мин.	30	14	20	34

Таблица 2. Тестовые задачи многокритериальной оптимизации.
<table class="docx-publication-table">
<tbody>
<tr>
<td class="docx-publication-cell" rowspan="3" colspan="2">Метрики эффективности ГА</td>
<td class="docx-publication-cell" colspan="4">Генетические алгоритмы</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">SPEA</td>
<td class="docx-publication-cell">SPEA2</td>
<td class="docx-publication-cell">NSGA-II</td>
<td class="docx-publication-cell">Многоагентный ГА</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell" colspan="4">Функция Бина и Корна</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">LHV</td>
<td class="docx-publication-cell">макс.</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8050</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8056</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8048</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8070</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">ср.</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8030</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8034</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8038</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8068</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">мин.</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8050</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8015</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8023</td>
<td class="docx-publication-cell">3.8066</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">IGD</td>
<td class="docx-publication-cell">макс.</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1348</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1859</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1528</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0910</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">ср.</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1178</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1525</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1344</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0829</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">мин.</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0978</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1338</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1143</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0757</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">CPF</td>
<td class="docx-publication-cell">макс.</td>
<td class="docx-publication-cell">144</td>
<td class="docx-publication-cell">128</td>
<td class="docx-publication-cell">125</td>
<td class="docx-publication-cell">229</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">ср.</td>
<td class="docx-publication-cell">135</td>
<td class="docx-publication-cell">113</td>
<td class="docx-publication-cell">114</td>
<td class="docx-publication-cell">209</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">мин.</td>
<td class="docx-publication-cell">114</td>
<td class="docx-publication-cell">104</td>
<td class="docx-publication-cell">104</td>
<td class="docx-publication-cell">177</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell" colspan="2">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell" colspan="4">Функция Ффонсеки и Флеминга</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">LHV</td>
<td class="docx-publication-cell">макс.</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0197</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0243</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0245</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0142</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">ср.</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0256</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0447</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0370</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0161</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">мин.</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0197</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0586</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0436</td>
<td class="docx-publication-cell">-0.0207</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">IGD</td>
<td class="docx-publication-cell">макс.</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0084</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0242</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0226</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0061</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">ср.</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0062</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0136</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0157</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0046</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">мин.</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0035</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0077</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0106</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0033</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">CPF</td>
<td class="docx-publication-cell">макс.</td>
<td class="docx-publication-cell">55</td>
<td class="docx-publication-cell">38</td>
<td class="docx-publication-cell">25</td>
<td class="docx-publication-cell">71</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">ср.</td>
<td class="docx-publication-cell">29</td>
<td class="docx-publication-cell">26</td>
<td class="docx-publication-cell">23</td>
<td class="docx-publication-cell">64</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">мин.</td>
<td class="docx-publication-cell">0</td>
<td class="docx-publication-cell">18</td>
<td class="docx-publication-cell">19</td>
<td class="docx-publication-cell">49</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell" colspan="2">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell" colspan="4">Двухцелевая функция Полони</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">LHV</td>
<td class="docx-publication-cell">макс.</td>
<td class="docx-publication-cell">2.7049</td>
<td class="docx-publication-cell">2.7014</td>
<td class="docx-publication-cell">2.7036</td>
<td class="docx-publication-cell">2.7043</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">ср.</td>
<td class="docx-publication-cell">2.7003</td>
<td class="docx-publication-cell">2.6971</td>
<td class="docx-publication-cell">2.7006</td>
<td class="docx-publication-cell">2.7031</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">мин.</td>
<td class="docx-publication-cell">2.7049</td>
<td class="docx-publication-cell">2.6910</td>
<td class="docx-publication-cell">2.6979</td>
<td class="docx-publication-cell">2.7019</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">IGD</td>
<td class="docx-publication-cell">макс.</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1606</td>
<td class="docx-publication-cell">0.2651</td>
<td class="docx-publication-cell">0.2438</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1421</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">ср.</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1120</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1492</td>
<td class="docx-publication-cell">0.1575</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0929</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">мин.</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0603</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0441</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0773</td>
<td class="docx-publication-cell">0.0650</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">CPF</td>
<td class="docx-publication-cell">макс.</td>
<td class="docx-publication-cell">52</td>
<td class="docx-publication-cell">30</td>
<td class="docx-publication-cell">28</td>
<td class="docx-publication-cell">41</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">ср.</td>
<td class="docx-publication-cell">40</td>
<td class="docx-publication-cell">20</td>
<td class="docx-publication-cell">24</td>
<td class="docx-publication-cell">38</td>
</tr>
<tr>
<td class="docx-publication-cell">&nbsp;</td>
<td class="docx-publication-cell">мин.</td>
<td class="docx-publication-cell">30</td>
<td class="docx-publication-cell">14</td>
<td class="docx-publication-cell">20</td>
<td class="docx-publication-cell">34</td>
</tr>
</tbody>
</table>

Таблица 2. Тестовые задачи многокритериальной оптимизации. <table class="docx-publication-table"> <tbody> <tr> <td class="docx-publication-cell" rowspan="3" colspan="2">Метрики эффективности ГА</td> <td class="docx-publication-cell" colspan="4">Генетические алгоритмы</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">SPEA</td> <td class="docx-publication-cell">SPEA2</td> <td class="docx-publication-cell">NSGA-II</td> <td class="docx-publication-cell">Многоагентный ГА</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell" colspan="4">Функция Бина и Корна</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">LHV</td> <td class="docx-publication-cell">макс.</td> <td class="docx-publication-cell">3.8050</td> <td class="docx-publication-cell">3.8056</td> <td class="docx-publication-cell">3.8048</td> <td class="docx-publication-cell">3.8070</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">ср.</td> <td class="docx-publication-cell">3.8030</td> <td class="docx-publication-cell">3.8034</td> <td class="docx-publication-cell">3.8038</td> <td class="docx-publication-cell">3.8068</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">мин.</td> <td class="docx-publication-cell">3.8050</td> <td class="docx-publication-cell">3.8015</td> <td class="docx-publication-cell">3.8023</td> <td class="docx-publication-cell">3.8066</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">IGD</td> <td class="docx-publication-cell">макс.</td> <td class="docx-publication-cell">0.1348</td> <td class="docx-publication-cell">0.1859</td> <td class="docx-publication-cell">0.1528</td> <td class="docx-publication-cell">0.0910</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">ср.</td> <td class="docx-publication-cell">0.1178</td> <td class="docx-publication-cell">0.1525</td> <td class="docx-publication-cell">0.1344</td> <td class="docx-publication-cell">0.0829</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">мин.</td> <td class="docx-publication-cell">0.0978</td> <td class="docx-publication-cell">0.1338</td> <td class="docx-publication-cell">0.1143</td> <td class="docx-publication-cell">0.0757</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">CPF</td> <td class="docx-publication-cell">макс.</td> <td class="docx-publication-cell">144</td> <td class="docx-publication-cell">128</td> <td class="docx-publication-cell">125</td> <td class="docx-publication-cell">229</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">ср.</td> <td class="docx-publication-cell">135</td> <td class="docx-publication-cell">113</td> <td class="docx-publication-cell">114</td> <td class="docx-publication-cell">209</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">мин.</td> <td class="docx-publication-cell">114</td> <td class="docx-publication-cell">104</td> <td class="docx-publication-cell">104</td> <td class="docx-publication-cell">177</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell" colspan="2"> </td> <td class="docx-publication-cell" colspan="4">Функция Ффонсеки и Флеминга</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">LHV</td> <td class="docx-publication-cell">макс.</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0197</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0243</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0245</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0142</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">ср.</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0256</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0447</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0370</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0161</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">мин.</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0197</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0586</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0436</td> <td class="docx-publication-cell">-0.0207</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">IGD</td> <td class="docx-publication-cell">макс.</td> <td class="docx-publication-cell">0.0084</td> <td class="docx-publication-cell">0.0242</td> <td class="docx-publication-cell">0.0226</td> <td class="docx-publication-cell">0.0061</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">ср.</td> <td class="docx-publication-cell">0.0062</td> <td class="docx-publication-cell">0.0136</td> <td class="docx-publication-cell">0.0157</td> <td class="docx-publication-cell">0.0046</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">мин.</td> <td class="docx-publication-cell">0.0035</td> <td class="docx-publication-cell">0.0077</td> <td class="docx-publication-cell">0.0106</td> <td class="docx-publication-cell">0.0033</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">CPF</td> <td class="docx-publication-cell">макс.</td> <td class="docx-publication-cell">55</td> <td class="docx-publication-cell">38</td> <td class="docx-publication-cell">25</td> <td class="docx-publication-cell">71</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">ср.</td> <td class="docx-publication-cell">29</td> <td class="docx-publication-cell">26</td> <td class="docx-publication-cell">23</td> <td class="docx-publication-cell">64</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">мин.</td> <td class="docx-publication-cell">0</td> <td class="docx-publication-cell">18</td> <td class="docx-publication-cell">19</td> <td class="docx-publication-cell">49</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell" colspan="2"> </td> <td class="docx-publication-cell" colspan="4">Двухцелевая функция Полони</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">LHV</td> <td class="docx-publication-cell">макс.</td> <td class="docx-publication-cell">2.7049</td> <td class="docx-publication-cell">2.7014</td> <td class="docx-publication-cell">2.7036</td> <td class="docx-publication-cell">2.7043</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">ср.</td> <td class="docx-publication-cell">2.7003</td> <td class="docx-publication-cell">2.6971</td> <td class="docx-publication-cell">2.7006</td> <td class="docx-publication-cell">2.7031</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">мин.</td> <td class="docx-publication-cell">2.7049</td> <td class="docx-publication-cell">2.6910</td> <td class="docx-publication-cell">2.6979</td> <td class="docx-publication-cell">2.7019</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">IGD</td> <td class="docx-publication-cell">макс.</td> <td class="docx-publication-cell">0.1606</td> <td class="docx-publication-cell">0.2651</td> <td class="docx-publication-cell">0.2438</td> <td class="docx-publication-cell">0.1421</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">ср.</td> <td class="docx-publication-cell">0.1120</td> <td class="docx-publication-cell">0.1492</td> <td class="docx-publication-cell">0.1575</td> <td class="docx-publication-cell">0.0929</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">мин.</td> <td class="docx-publication-cell">0.0603</td> <td class="docx-publication-cell">0.0441</td> <td class="docx-publication-cell">0.0773</td> <td class="docx-publication-cell">0.0650</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">CPF</td> <td class="docx-publication-cell">макс.</td> <td class="docx-publication-cell">52</td> <td class="docx-publication-cell">30</td> <td class="docx-publication-cell">28</td> <td class="docx-publication-cell">41</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">ср.</td> <td class="docx-publication-cell">40</td> <td class="docx-publication-cell">20</td> <td class="docx-publication-cell">24</td> <td class="docx-publication-cell">38</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"> </td> <td class="docx-publication-cell">мин.</td> <td class="docx-publication-cell">30</td> <td class="docx-publication-cell">14</td> <td class="docx-publication-cell">20</td> <td class="docx-publication-cell">34</td> </tr> </tbody> </table>

В Табл. 2 используются следующие обозначения:

LHV – логарифмический гиперобъем (т.е. логарифмическая площадь доминирующего пространства, образуемого фронтом Парето, который вычислен с использованием ГА), который должен быть максимизирован;
IGD – инвертированное расстояние между поколениями (т.е. усредненное расстояние между решениями, принадлежащими вычисленному с помощью ГА, фронта Парето и ближайшими точками, принадлежащими истинному фронту Парето), которое должно быть минимизировано;
CPF – мощность фронта Парето (т.е. количество недоминируемых решений (альтернатив), принадлежащему фронту Парето), которая должна быть максимизирована.

Как следует из Таблицы 2 по всем трем ключевым критериям оценки качества фронта Парето – LHV, IGD и CPF, предлагаемый многоагентный генетический алгоритм на основе нечёткой кластеризации демонстрирует существенно большую эффективность в сравнении с другими известными генетическими алгоритмами (SPEA, SPEA2, NSGA-II).

На рис. 5 продемонстрирована эволюционная динамика недоминирумеых решений (

t_{k} = 1, 2, . . ., 10

) с соответствующей нечёткой кластеризацией (в пространстве решений), полученная с использованием разработанного многоагентного ГА, подтверждающая рост числа Парето-оптимальных решений с увеличением числа внешних итераций ГА.

Рисунок 5. Эволюционная динамика недоминируемых решений с кластеризацией.

В процессе эволюционного поиска в предложенном многоагентном ГА на основе нечёткой кластеризации обеспечивается монотонное возрастание значений метрики гиперобъема (LHV) и мощности Парето множества (CPF) и уменьшение расстояния между генерируемым («поколенческим») и истинным фронтами Парето (IGD). Подобная динамика подтверждает эффективность (по характеристике качества фронта Парето) предлагаемого ГА для решения многокритериальных оптимизационных задач.

Заключение

В данной статье представлен новый многоагентный генетический алгоритм на основе нечёткой кластеризации, предназначенный для решения многокритериальных задач, в которых целевые функционалы являются результатом имитационного моделирования. Продемонстрирована эффективность предлагаемого ГА, в сравнении с другими эвристическими методами (например, SPEA, SPEA2, NSGA-II).

Разработанный алгоритм может быть агрегирован по целевым функционалам с имитационными моделями, реализованными, в частности, в системе AnyLogic, что позволит использовать подобный подход при проектировании систем поддержки принятия решений социально-экономического и экологического планирования.

References

1. Akopov A.S., Beklaryan A.L., Tkhakur M., Verma B.D. Razrabotka parallel'nykh geneticheskikh algoritmov veschestvennogo kodirovaniya dlya sistem podderzhki prinyatiya reshenij sotsial'no-ehkonomicheskogo i ehkologicheskogo planirovaniya // Biznes-informatika. 2019. T. 13. № 1. c. 33-44.

2. Akopov A.S., Beklaryan A.L., Khachatryan N.K., Fomin A.V. Razrabotka adaptivnogo geneticheskogo optimizatsionnogo algoritma s ispol'zovaniem metodov agentnogo modelirovaniya // Informatsionnye tekhnologii. 2018. T. 24. № 5. S. 321-329.

3. Khivintsev M.A., Akopov A.S. Primenenie mnogoagentnogo geneticheskogo algoritma dlya poiska optimal'nykh strategicheskikh i operativnykh reshenij // Biznes-informatika. 2014. № 1 (27). S. 23-33.

4. Akopov A. S. Parallel genetic algorithm with fading selection // International Journal of Computer Applications in Technology. 2014. Vol. 49. No. 3/4. P. 325-331.

5. Akopov A. S., Hevencev M.A. A Multi-agent genetic algorithm for multi-objective optimization, in Proceedings of 2013 IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics, Manchester, 2013, pp. 1391–1395.

6. Akopov A.S., Beklaryan L.A., Thakur M., Verma D.B. Parallel multi-agent real-coded genetic algorithm for large-scale black-box single-objective optimisation // Knowledge-Based Systems. 2019. Vol. 174. pp. 103-122.

7. Beklaryan A.L, Akopov A.S. Simulation of Agent-rescuer Behavior in Emergency Based on Modified Fuzzy Clustering, in AAMAS'16: Proceedings of the 2016 International Conference on Autonomous Agents & Multiagent Systems, Richland: International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent Systems, 2016. pp. 1275–1276.

8. Bezdek C.J. Cluster Validity with Fuzzy Sets // Journal of Cybernetics, vol. 3, no. 3, pp. 58–73, 1974.

9. Bezdek C.J., Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms. Norwell, Mass.: Kluwer Academic Publishers, 1981.

10. Bleuler S., Brack M., Thiele L., Zitzler E. Multiobjective genetic programmin.g: reducing bloat using SPEA2, in Proc. 2001 Congress on Evolutionary Computation (IEEE Cat. No.01TH8546), Seoul, South Korea, 2001, pp. 536–543.

11. Darrell W., Rana S.B., Heckendorn R.B. The Island Model Genetic Algorithm: On Separability, Population Size and Convergence // Journal of Computing and Information Technology. 1999. Vol. 7, no. 1, pp. 33-47.

12. Deb K., Pratap A., Agarwal S., Meyarivan T. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II // IEEE Trans. Evol. Comp. Vol. 6, no. 2, pp. 182-197, 2002.

13. Fliege J., Drummond L.M.G., Svaiter B.F. Newton’s Method for Multiobjective Optimization // SIAM J. Optim., vol. 20, no. 2, pp. 602–626, 2009.

14. Jiang S., Ong Y., Zhang J., Feng L. Consistencies and Contradictions of Performance Metrics in Multiobjective Optimization // IEEE Transactions on Cybernetics, 2014. Vol. 44, no. 12, pp. 2391–2404.

15. Miller B., Goldberg D. Genetic Algorithms, Tournament Selection, and the Effects of Noise // Complex Systems, vol. 9, pp. 193–212, 1995.

16. Zhang Q., Zhou A., Zhao S., Suganthan P.N., Liu W. Multiobjective optimization Test Instances for the CEC 2009 Special Session and Competition // Tech. Rep. CES-487. 2009. pp. 1–30.

17. Zitzler E., Thiele L. Multiobjective Evolutionary Algorithms: A Comparative Case Study and the Strength Pareto Approach // IEEE Transactions on Evolutionary Computation, vol. 3, no. 4, pp. 257–271, 1999.

Comments

No posts found

Write a review

Translate

ISSN 2079-8784

Founder

Central Economics and Mathematics Institute RAS
117418, Moscow, Nachimovky prospect 47

cemi.rssi.ru

Founder / Publisher:

State Academic University for the Humanities
119049, Moscow, Maronovsky st., 26<

gaugn.ru