Оптимизация работы графических процессоров и кластеров для разработки крупномасштабных социально-экономических моделей на суперкомпьютерах

Абрамов Владимир И.; Евдокимов Дмитрий С.

doi:10.18254/S207751800011122-3

Главная>Выпуск 3>Оптимизация работы графических процессоров и кластеров для разработки крупномасштабных социально-экономических моделей на суперкомпьютерах

Оптимизация работы графических процессоров и кластеров для разработки крупномасштабных социально-экономических моделей на суперкомпьютерах

Оглавление

Аннотация Оценить Содержание публикации

Библиография Комментарии

Аннотация

Код статьи

S207751800011122-3-1

DOI

10.18254/S207751800011122-3

Тип публикации

Статья

Статус публикации

Опубликовано

Авторы

Абрамов Владимир Иванович Связаться с автором

ORCID: 0000-0001-5714-2358

Должность: Научный сотрудник
Аффилиация: ЦЭМИ РАН
Адрес: Российская Федерация, Москва

Евдокимов Дмитрий Сергеевич

ORCID: 0000-0001-8304-9448

Должность: Младший научный сотрудник
Аффилиация: ЦЭМИ РАН
Адрес: Российская Федерация, Москва

Выпуск

Том 15 Выпуск 3

Аннотация

Статья посвящена анализу технологии оптимизации производительности суперкомпьютеров для разработки крупномасштабных экономических моделей, основанной на двух положениях. Во-первых, в работе приведена распараллеленная архитектура оптимизированной среды для разработки многомерных динамических стохастических экономических моделей. Во-вторых, описан алгоритм векторизации вычислительных ядер для AVX- процессоров.

Ключевые слова

высокопроизводительные вычисления, адаптивные разреженные сети, имитационные модели, суперкомпьютеры

Источник финансирования

Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда, проект № 19-18-00240

Классификатор

Получено

05.08.2020

Дата публикации

05.09.2020

Всего подписок

Всего просмотров

1612

Оценка читателей

0.0 (0 голосов)

Цитировать Скачать pdf

ГОСТ	Абрамов В. И. , Евдокимов Д. С. Оптимизация работы графических процессоров и кластеров для разработки крупномасштабных социально-экономических моделей на суперкомпьютерах // Искусственные общества. – 2020. – T. 15. – Выпуск 3. URL: https://artsoc.jes.su/s207751800011122-3-1/. DOI: 10.18254/S207751800011122-3
MLA	Abramov, Vladimir, Evdokimov, Dmitry "Optimization of GPUs and Clusters for the Development of Large-scale Socio-economic Models on Supercomputers." Artificial societies. 15.3 (2020). DOI: 10.18254/S207751800011122-3
APA	Abramov V., Evdokimov D. (2020). Optimization of GPUs and Clusters for the Development of Large-scale Socio-economic Models on Supercomputers. Artificial societies. vol. 15, no. 3 DOI: 10.18254/S207751800011122-3

Доступ к дополнительным сервисам

Дополнительные сервисы только на эту статью

Преимущества сервисов

100 руб. / 1.0 SU

Дополнительные сервисы на все выпуски за 2020 год

Преимущества сервисов

1200 руб. / 24.0 SU


1	Введение Оптимизация сложных вычислительных процессов суперкомпьютера позволяет использовать его функционал с большей эффективностью и открывает возможности построения детализированных динамических моделей для изучения различных социально-экономических процессов. Для эффективного решения данных вопросов могут быть использованы динамические стохастические модели общего равновесия с неоднородными агентами для фактического анализа действующей политики. Агент-ориентированные модели (далее – АОМ), и модели перекрывающихся поколений (далее - МПП) [2, 13] являются важными инструментами при проведении имитационных экспериментов лицами, принимающими управленческие решения.	<h3 id="text_content_item_1" id="text_content_item_1" id="text_content_item_1" class="docx-publication-h3">Введение</h3> <p>Оптимизация сложных вычислительных процессов суперкомпьютера позволяет использовать его функционал с большей эффективностью и открывает возможности построения детализированных динамических моделей для изучения различных социально-экономических процессов. Для эффективного решения данных вопросов могут быть использованы динамические стохастические модели общего равновесия с неоднородными агентами для фактического анализа действующей политики. Агент-ориентированные модели (далее – АОМ), и модели перекрывающихся поколений (далее - МПП) [2, 13] являются важными инструментами при проведении имитационных экспериментов лицами, принимающими управленческие решения.</p> <h3 id="text_content_item_1" id="text_content_item_1" id="text_content_item_1" class="docx-publication-h3">Введение</h3> <p>Оптимизация сложных вычислительных процессов суперкомпьютера позволяет использовать его функционал с большей эффективностью и открывает возможности построения детализированных динамических моделей для изучения различных социально-экономических процессов. Для эффективного решения данных вопросов могут быть использованы динамические стохастические модели общего равновесия с неоднородными агентами для фактического анализа действующей политики. Агент-ориентированные модели (далее – АОМ), и модели перекрывающихся поколений (далее - МПП) [2, 13] являются важными инструментами при проведении имитационных экспериментов лицами, принимающими управленческие решения.</p>

2	В настоящее время существует несколько областей, в которых за последние 10–20 лет детерминированные модели МПП эффективно применялись для анализа налоговой и фискальной политики. Для того, чтобы иметь возможность более детально решать важные политические вопросы, в прототип модели должна быть включена случайная вероятность события, основанная на статистических данных за последние годы, а также учтены экономические процессы в сфере государственного управления и вероятность наступления событий, которые влияют на будущие управленческие решения [12]. Зачастую при проведении подобных экспериментов, исследователи, которые используют теорию вероятности в моделях, сталкиваются с неустойчивым равновесием, поскольку стохастические совокупные шоки влияют на каждого агента по-разному. Эти эффекты не компенсируются даже с учетом усреднения совокупности всех факторов.	<p>В настоящее время существует несколько областей, в которых за последние 10–20 лет детерминированные модели МПП эффективно применялись для анализа налоговой и фискальной политики. Для того, чтобы иметь возможность более детально решать важные политические вопросы, в прототип модели должна быть включена случайная вероятность события, основанная на статистических данных за последние годы, а также учтены экономические процессы в сфере государственного управления и вероятность наступления событий, которые влияют на будущие управленческие решения [12]. Зачастую при проведении подобных экспериментов, исследователи, которые используют теорию вероятности в моделях, сталкиваются с неустойчивым равновесием, поскольку стохастические совокупные шоки влияют на каждого агента по-разному. Эти эффекты не компенсируются даже с учетом усреднения совокупности всех факторов.</p> <p>В настоящее время существует несколько областей, в которых за последние 10–20 лет детерминированные модели МПП эффективно применялись для анализа налоговой и фискальной политики. Для того, чтобы иметь возможность более детально решать важные политические вопросы, в прототип модели должна быть включена случайная вероятность события, основанная на статистических данных за последние годы, а также учтены экономические процессы в сфере государственного управления и вероятность наступления событий, которые влияют на будущие управленческие решения [12]. Зачастую при проведении подобных экспериментов, исследователи, которые используют теорию вероятности в моделях, сталкиваются с неустойчивым равновесием, поскольку стохастические совокупные шоки влияют на каждого агента по-разному. Эти эффекты не компенсируются даже с учетом усреднения совокупности всех факторов.</p>

3	В статье рассмотрены возможности использования последних разработок в области вычислительной математики и массового параллельного аппаратного обеспечения для вычисления глобальных зависимостей общих стохастических моделей МПП. Стоит отметить, что совмещение МПП и АОМ позволит добиться большей детализации и точности в прогнозных и вероятностных событиях, тем самым получая возможность к расширению функционала имитационного моделирования. Таким образом, представленная в работе технология оптимизации в перспективе может открыть возможности для решения социально-экономических проблем с беспрецедентным реализмом [5].	<p>В статье рассмотрены возможности использования последних разработок в области вычислительной математики и массового параллельного аппаратного обеспечения для вычисления глобальных зависимостей общих стохастических моделей МПП. Стоит отметить, что совмещение МПП и АОМ позволит добиться большей детализации и точности в прогнозных и вероятностных событиях, тем самым получая возможность к расширению функционала имитационного моделирования. Таким образом, представленная в работе технология оптимизации в перспективе может открыть возможности для решения социально-экономических проблем с беспрецедентным реализмом [5].</p> <p>В статье рассмотрены возможности использования последних разработок в области вычислительной математики и массового параллельного аппаратного обеспечения для вычисления глобальных зависимостей общих стохастических моделей МПП. Стоит отметить, что совмещение МПП и АОМ позволит добиться большей детализации и точности в прогнозных и вероятностных событиях, тем самым получая возможность к расширению функционала имитационного моделирования. Таким образом, представленная в работе технология оптимизации в перспективе может открыть возможности для решения социально-экономических проблем с беспрецедентным реализмом [5].</p>

4	Современные суперкомпьютеры и их производительность. Производительность суперкомпьютеров растет и позволяет решать сложнейшие вычислительные задачи. Первым компьютером, который преодолел отметку в один петафлопс, является суперкомпьютер IBM Roadrunner [15]. В целом, технологии, связанные с высокопроизводительными вычислительными машинами, изначально были предназначены для моделирования ядерных реакций [1]. На сегодняшний день наработки в этой области шагнули далеко вперед, и суперкомпьютеры используются для решения различных задач и моделирования всевозможных детализированных процессов с огромным объемом вычислений. Одним из важнейших показателей в развитии суперкомпьютерных технологий является суммарный коэффициент производительности, который рассчитывается отдельно для каждой страны. Далее (см. рис. 1) представлены показатели суммарного коэффициента для России, США, Китая, Евросоюза и Японии.	<p>Современные суперкомпьютеры и их производительность.<strong> </strong> Производительность суперкомпьютеров растет и позволяет решать сложнейшие вычислительные задачи. Первым компьютером, который преодолел отметку в один петафлопс, является суперкомпьютер IBM Roadrunner [15]. В целом, технологии, связанные с высокопроизводительными вычислительными машинами, изначально были предназначены для моделирования ядерных реакций [1]. На сегодняшний день наработки в этой области шагнули далеко вперед, и суперкомпьютеры используются для решения различных задач и моделирования всевозможных детализированных процессов с огромным объемом вычислений. Одним из важнейших показателей в развитии суперкомпьютерных технологий является суммарный коэффициент производительности, который рассчитывается отдельно для каждой страны. Далее (см. рис. 1) представлены показатели суммарного коэффициента для России, США, Китая, Евросоюза и Японии.</p> <p>Современные суперкомпьютеры и их производительность.<strong> </strong> Производительность суперкомпьютеров растет и позволяет решать сложнейшие вычислительные задачи. Первым компьютером, который преодолел отметку в один петафлопс, является суперкомпьютер IBM Roadrunner [15]. В целом, технологии, связанные с высокопроизводительными вычислительными машинами, изначально были предназначены для моделирования ядерных реакций [1]. На сегодняшний день наработки в этой области шагнули далеко вперед, и суперкомпьютеры используются для решения различных задач и моделирования всевозможных детализированных процессов с огромным объемом вычислений. Одним из важнейших показателей в развитии суперкомпьютерных технологий является суммарный коэффициент производительности, который рассчитывается отдельно для каждой страны. Далее (см. рис. 1) представлены показатели суммарного коэффициента для России, США, Китая, Евросоюза и Японии.</p>

5	Подпись к рисунку/медиа Рисунок 1. Суммарная производительность всех суперкомпьютеров США (US), стран Евросоюза (EU), России (RU), Китая (CH) и Японии (JP). Источник: [1] Рисунок 1. Суммарная производительность всех суперкомпьютеров США (US), стран Евросоюза (EU), России (RU), Китая (CH) и Японии (JP). Источник: [1]
6	Ярко выраженный скачок по показателю суммарной производительности суперкомпьютеров в интервале с 1994 по 2018 гг. продемонстрировали Япония, США и Евросоюз. Набрав стремительный рост, Китай вырвался в лидеры к 2015 году, опередив Японию и Евросоюз. В 2019 году Китай и США практически сравнялись в этом показателе, и время от времени меняют друг друга на лидирующей позиции.	Ярко выраженный скачок по показателю суммарной производительности суперкомпьютеров в интервале с 1994 по 2018 гг. продемонстрировали Япония, США и Евросоюз. Набрав стремительный рост, Китай вырвался в лидеры к 2015 году, опередив Японию и Евросоюз. В 2019 году Китай и США практически сравнялись в этом показателе, и время от времени меняют друг друга на лидирующей позиции. Ярко выраженный скачок по показателю суммарной производительности суперкомпьютеров в интервале с 1994 по 2018 гг. продемонстрировали Япония, США и Евросоюз. Набрав стремительный рост, Китай вырвался в лидеры к 2015 году, опередив Японию и Евросоюз. В 2019 году Китай и США практически сравнялись в этом показателе, и время от времени меняют друг друга на лидирующей позиции.

7	Наряду со стремительным развитием суперкомпьютерных технологий особое внимание уделяется задачам, связанным с оптимизацией вычислений. Скорость, помноженная на эффективность, дает результат, который позволяет выйти в лидеры в области развития высокопроизводительной техники. Далее в работе приведены новые технологии оптимизации вычислений, которые могут быть применены в контексте АОМ и МПП [6].	<p>Наряду со стремительным развитием суперкомпьютерных технологий особое внимание уделяется задачам, связанным с оптимизацией вычислений. Скорость, помноженная на эффективность, дает результат, который позволяет выйти в лидеры в области развития высокопроизводительной техники. Далее в работе приведены новые технологии оптимизации вычислений, которые могут быть применены в контексте АОМ и МПП [6].</p> <p>Наряду со стремительным развитием суперкомпьютерных технологий особое внимание уделяется задачам, связанным с оптимизацией вычислений. Скорость, помноженная на эффективность, дает результат, который позволяет выйти в лидеры в области развития высокопроизводительной техники. Далее в работе приведены новые технологии оптимизации вычислений, которые могут быть применены в контексте АОМ и МПП [6].</p>

8	Метод, основанный на адаптивных разреженных сетях. Методы построения адаптивных разреженных сетей (далее – АРС) активно используются для решения оптимизационных задач, которые возникают из-за парадигмы многомерного пространства состояний, а именно повторного построения и оценки многовариантных функций [11, 14].	<h3 id="text_content_item_8" id="text_content_item_8" id="text_content_item_8" class="docx-publication-h3">Метод, основанный на адаптивных разреженных сетях.</h3> <p>Методы построения адаптивных разреженных сетей (далее – АРС) активно используются для решения оптимизационных задач, которые возникают из-за парадигмы многомерного пространства состояний, а именно повторного построения и оценки многовариантных функций [11, 14].</p> <h3 id="text_content_item_8" id="text_content_item_8" id="text_content_item_8" class="docx-publication-h3">Метод, основанный на адаптивных разреженных сетях.</h3> <p>Методы построения адаптивных разреженных сетей (далее – АРС) активно используются для решения оптимизационных задач, которые возникают из-за парадигмы многомерного пространства состояний, а именно повторного построения и оценки многовариантных функций [11, 14].</p>

9	Рассмотрим представление отрезка-d-линейной функции f: Ω → R для некоторой ширины сетки h_n = 2¹ ^{− n}с уровнем дискретизации n ∈ N. С целью дискретизации Ω можно выполнить ограничение области интересов компактом Ω = [0, 1] ^d, где d - размерность модели МПП. Такая ситуация может быть достигнута для большинства других областей путем повторного масштабирования и усечения исходной области. Чтобы сгенерировать приближение u функции f, используется разложение:	Рассмотрим представление отрезка-d-линейной функции f: Ω → R для некоторой ширины сетки h<sub>n</sub> = 2<sup>1</sup> <sup>− n </sup>с уровнем дискретизации n ∈ N. С целью дискретизации Ω можно выполнить ограничение области интересов компактом Ω = [0, 1] <sup>d</sup>, где d - размерность модели МПП. Такая ситуация может быть достигнута для большинства других областей путем повторного масштабирования и усечения исходной области. Чтобы сгенерировать приближение <em>u</em> функции <em>f</em>, используется разложение: Рассмотрим представление отрезка-d-линейной функции f: Ω → R для некоторой ширины сетки h<sub>n</sub> = 2<sup>1</sup> <sup>− n </sup>с уровнем дискретизации n ∈ N. С целью дискретизации Ω можно выполнить ограничение области интересов компактом Ω = [0, 1] <sup>d</sup>, где d - размерность модели МПП. Такая ситуация может быть достигнута для большинства других областей путем повторного масштабирования и усечения исходной области. Чтобы сгенерировать приближение <em>u</em> функции <em>f</em>, используется разложение:

10	$f (\vec{x)} \approx u (\vec{x)} : = \sum_{j = 1}^{∙ ∙} α_{j} φ_{j} (\vec{x)} (1)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mi> </mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mo>≈</mo><mi>u</mi><mi> </mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mi> </mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mi> </mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>∙</mo><mo>∙</mo></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mi> </mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mo>≈</mo><mi>u</mi><mi> </mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mi> </mi><mo>:</mo><mo>=</mo><mi> </mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>∙</mo><mo>∙</mo></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>

11	Для N базисных функций φ_j и коэффициентов α_j используются одномерные функции:	Для N базисных функций φ<sub>j</sub> и коэффициентов α<sub>j</sub> используются одномерные функции: Для N базисных функций φ<sub>j</sub> и коэффициентов α<sub>j</sub> используются одномерные функции:

12	$φ_{l, i} (x) = \{\begin{matrix} 1, l = i = 1, \\ \max (1 - 2^{l - 1} ∙ \|x - x_{l, i}\|, 0), i = 0, \dots, 2^{l - 1} > 1, \end{matrix} (2)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="\|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">max</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>∙</mo><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mn>0</mn></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi> </mi><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>></mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="\|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">max</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>∙</mo><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mn>0</mn></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi> </mi><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>></mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>

13	После применения метода интерполяции разреженных сеток, основанного на иерархической декомпозиции пространства основной аппроксимации, вводятся иерархические наборы индексов I_l:	После применения метода интерполяции разреженных сеток, основанного на иерархической декомпозиции пространства основной аппроксимации, вводятся иерархические наборы индексов <em>I</em><sub><em>l</em></sub>: После применения метода интерполяции разреженных сеток, основанного на иерархической декомпозиции пространства основной аппроксимации, вводятся иерархические наборы индексов <em>I</em><sub><em>l</em></sub>:

14	$x_{l, i} = \{\begin{matrix} 0.5, l = i = 1, \\ i ∙ 2^{1 - l}, i = 0, \dots, 2^{l - 1}, l > 1, \end{matrix} (3)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="\|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mn>0.5</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mi>i</mi><mo>∙</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi> </mi><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi>l</mi><mo>></mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="\|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mn>0.5</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mi>i</mi><mo>∙</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>l</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi> </mi><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>l</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi>l</mi><mo>></mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced></math>

15	Использование метода интерполяции разреженных сеток, основанного на иерархической декомпозиции пространства основной аппроксимации подразумевает введение иерархических наборов индексов I_l, которые приводят к иерархическим подпространствам W_l, представленным в виде соответствующего базиса φ_l: = {φ_l,i(x), i ∈ I_l}.	Использование метода интерполяции разреженных сеток, основанного на иерархической декомпозиции пространства основной аппроксимации подразумевает введение иерархических наборов индексов <em>I</em><sub><em>l</em></sub>, которые приводят к иерархическим подпространствам <em>W</em><sub><em>l</em></sub>, представленным в виде соответствующего базиса φ<sub>l</sub>: = {φ<sub>l,i</sub><sub> </sub>(x), i ∈ I<sub>l</sub>}. Использование метода интерполяции разреженных сеток, основанного на иерархической декомпозиции пространства основной аппроксимации подразумевает введение иерархических наборов индексов <em>I</em><sub><em>l</em></sub>, которые приводят к иерархическим подпространствам <em>W</em><sub><em>l</em></sub>, представленным в виде соответствующего базиса φ<sub>l</sub>: = {φ<sub>l,i</sub><sub> </sub>(x), i ∈ I<sub>l</sub>}.

16	$I_{l} ≔ \{\begin{matrix} \{i = 1\} i f l = 1, \\ \{0 \leq i \leq 2, i e v e n\} i f l = 2, \\ \{0 \leq i \leq 2^{l_{t} - 1}, i o d d\} e l s e, \end{matrix} (4)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub><mo>≔</mo><mfenced open="{" close="" separators="\|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mi>f</mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>i</mi><mi> </mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>n</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mi>f</mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi>i</mi><mi> </mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>d</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></msub><mo>≔</mo><mfenced open="{" close="" separators="\|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mi>f</mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>i</mi><mi> </mi><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>n</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mi>f</mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>i</mi><mo>≤</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi>i</mi><mi> </mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>d</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mo>,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow></mfenced></math>

17	Иерархические базисные функции распространяются на многовариантный случай с использованием тензорных произведений:	Иерархические базисные функции распространяются на многовариантный случай с использованием тензорных произведений: Иерархические базисные функции распространяются на многовариантный случай с использованием тензорных произведений:

18	$φ_{\vec{l}, \vec{i}} (\vec{x}) ≔ \prod_{t = 1}^{d} φ_{l_{t, i_{t}}} (x_{t}), (4),$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi> </mi><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mfenced separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>≔</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∏</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi></mrow></mrow><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi> </mi><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mfenced separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>≔</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∏</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msubsup><mrow><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi></mrow></mrow><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>4</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>

19	где $\vec{l}$ и $\vec{i}$ - мультииндексы, указывающие на уровень и индекс основных одномерных функций верхнего слоя для каждого измерения. Они охватывают многомерные подпространства:	где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> - мультииндексы, указывающие на уровень и индекс основных одномерных функций верхнего слоя для каждого измерения. Они охватывают многомерные подпространства: где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></math> - мультииндексы, указывающие на уровень и индекс основных одномерных функций верхнего слоя для каждого измерения. Они охватывают многомерные подпространства:

20	$W_{\vec{l}} ≔ s p a n \{φ_{\vec{l}, \vec{i}} : \vec{i} \in I_{\vec{l}}\} (5)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>≔</mo><mi>s</mi><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>:</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>≔</mo><mi>s</mi><mi>p</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>:</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></math>

21	с набором индексов $I_{\vec{l}}$ , заданным многомерным расширением:	с набором индексов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub></math> , заданным многомерным расширением: с набором индексов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub></math> , заданным многомерным расширением:

22	$I_{\vec{l}} ≔ \{\begin{matrix} \{\vec{i} : i_{t} = 1,1 \leq t \leq d\} i f l = 1 \\ \{\vec{i} : 0 \leq i_{t} \leq 2, i_{t} e v e n, 1 \leq t \leq d\} i f l = 2 \\ \{\vec{i} : 0 \leq i_{t} \leq 2^{l_{t} - 1}, i_{t} o d d, 1 \leq t \leq d\} e l s e . \end{matrix} (6)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>≔</mo><mfenced open="{" close="" separators="\|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi><mi> </mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>:</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1,1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mi>f</mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>:</mo><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mi>f</mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>:</mo><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi> </mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>d</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>≔</mo><mfenced open="{" close="" separators="\|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi><mi> </mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>:</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1,1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mi>f</mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>:</mo><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi>e</mi><mi>v</mi><mi>e</mi><mi>n</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>i</mi><mi>f</mi><mi> </mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>:</mo><mn>0</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi> </mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>d</mi><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>d</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>e</mi><mi>l</mi><mi>s</mi><mi>e</mi><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></mrow></mfenced></math>

23	Пространство отрезка линейных функций V_n на декартовой сетке с размером ячейки h_n для данного уровня n определяется прямой суммой пространств приращений:	Пространство отрезка линейных функций V<sub>n</sub> на декартовой сетке с размером ячейки h<sub>n</sub> для данного уровня n определяется прямой суммой пространств приращений: Пространство отрезка линейных функций V<sub>n</sub> на декартовой сетке с размером ячейки h<sub>n</sub> для данного уровня n определяется прямой суммой пространств приращений:

24	$V_{n} ≔ {\begin{matrix} ⨁ w_{\vec{l}}, \|l\| \infty ≔ m a x l_{t} . \\ \|l\| \infty \leq n 1 \leq t \leq d \end{matrix}}_{} (7)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>≔</mo><msub><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mrow><mo stretchy="false">⨁</mo><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced><mi>∞</mi><mo>≔</mo><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mi> </mi><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced><mi>∞</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>d</mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mrow/></msub><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>7</mn><mo>)</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>≔</mo><msub><mrow><mtable><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mrow><mo stretchy="false">⨁</mo><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced><mi>∞</mi><mo>≔</mo><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><maligngroup/><mi> </mi><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced><mi>∞</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>d</mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><mrow/></msub><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>7</mn><mo>)</mo></math>

25	Затем, может быть однозначно приведен интерполянт функции f, а именно $u (\vec{x}) \in V_{n}$ :	Затем, может быть однозначно приведен интерполянт функции <em>f</em>, а именно <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>u</mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>∈</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mi> </mi></math> : Затем, может быть однозначно приведен интерполянт функции <em>f</em>, а именно <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>u</mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>∈</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mi> </mi></math> :

26	$f (\vec{x}) \approx u (\vec{x}) = \sum_{\|l\| \infty \leq n \vec{i} \in I_{\underset{l}{\to}}} \sum α_{\vec{l}, \vec{i}} ∙ φ_{\vec{l,} \vec{i}} (\vec{x}) . (8)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>≈</mo><mi>u</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced><mi>∞</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><munder accentunder="false"><mo>→</mo><mrow><mi>l</mi></mrow></munder></mrow></msub></mrow></munder><mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>∙</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi><mo>,</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mfenced separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>8</mn><mo>)</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">f</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>≈</mo><mi>u</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced><mi>∞</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><munder accentunder="false"><mo>→</mo><mrow><mi>l</mi></mrow></munder></mrow></msub></mrow></munder><mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>∙</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi><mo>,</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mfenced separators="\|"><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>8</mn><mo>)</mo></math>

27	Коэффициенты $α_{\vec{l} \vec{i}} \in R$ , обычно вызывают иерархические сдвиги. Они представляют собой разницу между значениями функций на текущем и предыдущем уровнях интерполяции. Для достаточно гладкой функции f асимптотическая ошибка убывает как $O (h_{n}^{2})$ , но за счет затрат $O (h_{n}^{- 2}) = O (h^{2 n d})$ точек сетки, таким образом «страдая» от размерности [10]. Как следствие возникает вопрос, как можно построить дискретные аппроксимационные пространства, которые лучше, чем V_n, в том смысле, что одно и то же количество вложенных точек сетки приводит к более высокому порядку точности. Как вариант, для решения этой задачи может быть введение функции со смешанными и ограниченными вторыми производными. С помощью них можно показать, что иерархические коэффициенты быстро убывают, а именно $\|α_{\vec{l} \vec{i}}\| = O (2^{- 2 \| \vec{l} \|_{1}})$ . Следовательно, иерархическое разбиение подпространства позволяет выбирать те W_l, которые вносят наибольший вклад в общую аппроксимацию. Это может быть сделано путем предыдущего выбора, в результате чего пространство разреженной сетки $V_{n}^{S}$ уровня n определяется как:	Коэффициенты <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mi> </mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>R</mi></math> , обычно вызывают иерархические сдвиги. Они представляют собой разницу между значениями функций на текущем и предыдущем уровнях интерполяции. Для достаточно гладкой функции <em>f</em> асимптотическая ошибка убывает как <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>O</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> , но за счет затрат <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>O</mi><mfenced separators="\|"><mrow><msubsup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>O</mi><mo>(</mo><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msup><mo>)</mo></math> точек сетки, таким образом «страдая» от размерности [10]. Как следствие возникает вопрос, как можно построить дискретные аппроксимационные пространства, которые лучше, чем V<sub>n</sub>, в том смысле, что одно и то же количество вложенных точек сетки приводит к более высокому порядку точности. Как вариант, для решения этой задачи может быть введение функции со смешанными и ограниченными вторыми производными. С помощью них можно показать, что иерархические коэффициенты быстро убывают, а именно <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>O</mi><mi> </mi><mo>(</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>\|</mo><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><msub><mrow><mo>\|</mo></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mo>)</mo></math> . Следовательно, иерархическое разбиение подпространства позволяет выбирать те <em>W</em><sub><em>l</em></sub>, которые вносят наибольший вклад в общую аппроксимацию. Это может быть сделано путем предыдущего выбора, в результате чего пространство разреженной сетки <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msubsup></math> уровня n определяется как: Коэффициенты <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mi> </mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi>R</mi></math> , обычно вызывают иерархические сдвиги. Они представляют собой разницу между значениями функций на текущем и предыдущем уровнях интерполяции. Для достаточно гладкой функции <em>f</em> асимптотическая ошибка убывает как <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>O</mi><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>)</mo></math> , но за счет затрат <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>O</mi><mfenced separators="\|"><mrow><msubsup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>O</mi><mo>(</mo><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>d</mi></mrow></msup><mo>)</mo></math> точек сетки, таким образом «страдая» от размерности [10]. Как следствие возникает вопрос, как можно построить дискретные аппроксимационные пространства, которые лучше, чем V<sub>n</sub>, в том смысле, что одно и то же количество вложенных точек сетки приводит к более высокому порядку точности. Как вариант, для решения этой задачи может быть введение функции со смешанными и ограниченными вторыми производными. С помощью них можно показать, что иерархические коэффициенты быстро убывают, а именно <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>O</mi><mi> </mi><mo>(</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>\|</mo><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><msub><mrow><mo>\|</mo></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msup><mo>)</mo></math> . Следовательно, иерархическое разбиение подпространства позволяет выбирать те <em>W</em><sub><em>l</em></sub>, которые вносят наибольший вклад в общую аппроксимацию. Это может быть сделано путем предыдущего выбора, в результате чего пространство разреженной сетки <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msubsup></math> уровня n определяется как:

28	$V_{n}^{S} ≔ ⨁_{\| \vec{l} \|_{1} \leq n + d - 1} W_{\vec{l}}, \| \vec{l} \|_{1} = \sum_{i = 1}^{d} l_{t} . (9),$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msubsup><mo>≔</mo><msub><mrow><mo>⨁</mo></mrow><mrow><mo>\|</mo><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><msub><mrow><mo>\|</mo></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mo>\|</mo><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><msub><mrow><mo>\|</mo></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>9</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msubsup><mo>≔</mo><msub><mrow><mo>⨁</mo></mrow><mrow><mo>\|</mo><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><msub><mrow><mo>\|</mo></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mo>\|</mo><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><msub><mrow><mo>\|</mo></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></munderover><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>9</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>

29	где $V_{3}^{S}$ состоит из иерархических пространств приращений $W_{(l_{1}, l_{2})}$ для $1 \leq l_{1}, l_{2} \leq n = 3$ . Число точек сетки, требуемых пространством $V_{n}^{S}$ , будут иметь порядок $O (2^{n} ∙ n^{d - 1})$ , что является значительным сокращением количества точек сетки, вычислительных затрат и требований к хранению информации, если проводить сравнение с декартовым пространством сетки. Затем, функцию $f \in V_{n}^{S} \subset v_{n}$ можно разложить на:	где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msubsup></math> состоит из иерархических пространств приращений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msub></math> для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math> . Число точек сетки, требуемых пространством <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msubsup></math> , будут иметь порядок <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>O</mi><mi> </mi><mo>(</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>∙</mo><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></math> , что является значительным сокращением количества точек сетки, вычислительных затрат и требований к хранению информации, если проводить сравнение с декартовым пространством сетки. Затем, функцию <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mi> </mi><mo>∈</mo><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msubsup><mi> </mi><mo>⊂</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> можно разложить на: где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msubsup></math> состоит из иерархических пространств приращений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></msub></math> для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math> . Число точек сетки, требуемых пространством <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msubsup></math> , будут иметь порядок <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>O</mi><mi> </mi><mo>(</mo><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>∙</mo><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>)</mo></math> , что является значительным сокращением количества точек сетки, вычислительных затрат и требований к хранению информации, если проводить сравнение с декартовым пространством сетки. Затем, функцию <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mi> </mi><mo>∈</mo><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></msubsup><mi> </mi><mo>⊂</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> можно разложить на:

30	$f (\vec{x}) \approx u (\vec{x)} = \sum_{\|l\| \leq n + d - 1 \vec{i} \in I \vec{l}} \sum α_{\vec{l}, \vec{i}} ∙ φ_{\vec{l}, \vec{i}} (\vec{x),} (10)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>≈</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mi> </mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>∈</mo><mi>I</mi><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></munder><mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>∙</mo><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mrow><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>)</mo><mo>≈</mo><mi>u</mi><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mi> </mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mfenced open="\|" close="\|" separators="\|"><mrow><mi>l</mi></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>∈</mo><mi>I</mi><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></munder><mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>∙</mo><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>l</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover accent="true"><mrow><mi>i</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></msub><mo>(</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mrow><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></math>

31	В случае, если функции не удовлетворяют требованиям гладкости или демонстрируют различные локальные особенности, они могут быть решены с помощью разреженных сеток, если используется пространственная адаптивность. Классическая конструкция разреженной сетки определяет априорный выбор точек сетки, оптимальный для функций с ограниченными смешанными производными второго порядка, а адаптивное уточнение может быть сделано на основе локального анализа ошибок выбора [10, 17, 18].	<p>В случае, если функции не удовлетворяют требованиям гладкости или демонстрируют различные локальные особенности, они могут быть решены с помощью разреженных сеток, если используется пространственная адаптивность. Классическая конструкция разреженной сетки определяет априорный выбор точек сетки, оптимальный для функций с ограниченными смешанными производными второго порядка, а адаптивное уточнение может быть сделано на основе локального анализа ошибок выбора [10, 17, 18].</p> <p>В случае, если функции не удовлетворяют требованиям гладкости или демонстрируют различные локальные особенности, они могут быть решены с помощью разреженных сеток, если используется пространственная адаптивность. Классическая конструкция разреженной сетки определяет априорный выбор точек сетки, оптимальный для функций с ограниченными смешанными производными второго порядка, а адаптивное уточнение может быть сделано на основе локального анализа ошибок выбора [10, 17, 18].</p>

32	Повышение скорости выполнения суперкомпьютером интерполяции функции на примере стохастической модели МПП. В данном разделе описан пример стохастической модели МПП, разработанной в виде массивной параллельной версии алгоритма временной итерации [16] для смешанных многомерных непрерывных/дискретных состояний, которые используют одну АРС на z ∈ Z на каждом шаге итерации. В [8] проведено распараллеливание данного алгоритма по гибридной схеме с использованием MPI [21], TBB [19] и CUDA, если на вычислительном узле присутствует GPU, а также вычислительных ядер, использующих AVX, AVX2 или AVX-512 векторизацию.	<h3 id="text_content_item_32" id="text_content_item_32" id="text_content_item_32" class="docx-publication-h3">Повышение скорости выполнения суперкомпьютером интерполяции функции на примере стохастической модели МПП.</h3> <p>В данном разделе описан пример стохастической модели МПП, разработанной в виде массивной параллельной версии алгоритма временной итерации [16] для смешанных многомерных непрерывных/дискретных состояний, которые используют одну АРС на z ∈ Z на каждом шаге итерации. В [8] проведено распараллеливание данного алгоритма по гибридной схеме с использованием MPI [21], TBB [19] и CUDA, если на вычислительном узле присутствует GPU, а также вычислительных ядер, использующих AVX, AVX2 или AVX-512 векторизацию.</p> <h3 id="text_content_item_32" id="text_content_item_32" id="text_content_item_32" class="docx-publication-h3">Повышение скорости выполнения суперкомпьютером интерполяции функции на примере стохастической модели МПП.</h3> <p>В данном разделе описан пример стохастической модели МПП, разработанной в виде массивной параллельной версии алгоритма временной итерации [16] для смешанных многомерных непрерывных/дискретных состояний, которые используют одну АРС на z ∈ Z на каждом шаге итерации. В [8] проведено распараллеливание данного алгоритма по гибридной схеме с использованием MPI [21], TBB [19] и CUDA, если на вычислительном узле присутствует GPU, а также вычислительных ядер, использующих AVX, AVX2 или AVX-512 векторизацию.</p>

33	Существенным слабым местом в производительности при вычислении крупномасштабных экономических задач зачастую является задача интерполяции функций предыдущего шага итерации. При поиске решения системы уравнений в заданной точке для заданного скачка z алгоритм должен часто интерполироваться по функциям политик всех состояний p_next N_s = 16 из предыдущего шага итерации за один раз. Эти интерполяции обычно занимают до 99% времени вычислений, необходимого (см. пример [9]) для решения нелинейного набора уравнений, и при этом должны выполняться как можно быстрее, чтобы гарантировать быстрое принятия решения. Несмотря на наличие широко применяемого формата данных с плотной матрицей (см., например, [9]), для которого существуют высоко оптимизированные алгоритмы для выполнения задач, связанных с интерполяцией, необходимо внедрение нового, общего метода сжатия данных для АРС [20]. Данный метод позволит работать с 16 непрерывными измерениями, то есть с 59-мерными АРС одновременно. Сохранение вышеупомянутого плотного матричного формата для хранения функции политики предыдущей итерации для интерполяции гораздо меньше загружает объем памяти, что, в свою очередь, существенно замедляет интерполяцию и, следовательно, повышает скорость вычислений.	<p>Существенным слабым местом в производительности при вычислении крупномасштабных экономических задач зачастую является задача интерполяции функций предыдущего шага итерации. При поиске решения системы уравнений в заданной точке для заданного скачка <em>z</em> алгоритм должен часто интерполироваться по функциям политик всех состояний <em>p</em><sub><em>next</em></sub> N<sub>s</sub> = 16 из предыдущего шага итерации за один раз. Эти интерполяции обычно занимают до 99% времени вычислений, необходимого (см. пример [9]) для решения нелинейного набора уравнений, и при этом должны выполняться как можно быстрее, чтобы гарантировать быстрое принятия решения. Несмотря на наличие широко применяемого формата данных с плотной матрицей (см., например, [9]), для которого существуют высоко оптимизированные алгоритмы для выполнения задач, связанных с интерполяцией, необходимо внедрение нового, общего метода сжатия данных для АРС [20]. Данный метод позволит работать с 16 непрерывными измерениями, то есть с 59-мерными АРС одновременно. Сохранение вышеупомянутого плотного матричного формата для хранения функции политики предыдущей итерации для интерполяции гораздо меньше загружает объем памяти, что, в свою очередь, существенно замедляет интерполяцию и, следовательно, повышает скорость вычислений.</p> <p>Существенным слабым местом в производительности при вычислении крупномасштабных экономических задач зачастую является задача интерполяции функций предыдущего шага итерации. При поиске решения системы уравнений в заданной точке для заданного скачка <em>z</em> алгоритм должен часто интерполироваться по функциям политик всех состояний <em>p</em><sub><em>next</em></sub> N<sub>s</sub> = 16 из предыдущего шага итерации за один раз. Эти интерполяции обычно занимают до 99% времени вычислений, необходимого (см. пример [9]) для решения нелинейного набора уравнений, и при этом должны выполняться как можно быстрее, чтобы гарантировать быстрое принятия решения. Несмотря на наличие широко применяемого формата данных с плотной матрицей (см., например, [9]), для которого существуют высоко оптимизированные алгоритмы для выполнения задач, связанных с интерполяцией, необходимо внедрение нового, общего метода сжатия данных для АРС [20]. Данный метод позволит работать с 16 непрерывными измерениями, то есть с 59-мерными АРС одновременно. Сохранение вышеупомянутого плотного матричного формата для хранения функции политики предыдущей итерации для интерполяции гораздо меньше загружает объем памяти, что, в свою очередь, существенно замедляет интерполяцию и, следовательно, повышает скорость вычислений.</p>

34	Заключение В статье приведены позиции различных стран в рейтинге суммарной производительности суперкомпьютеров. Представлена наглядная демонстрация того, что, объединение АРС с эффективными структурами данных, алгоритмом итерации по времени (который имеет дело с рекурсивным характером постановки задачи), и с гибридными вычислительными парадигмами высокопроизводительных вычислений (которые резко сокращают время расчетов), оказывается эффективным методом для решения задач, связанных с разработкой АОМ- и МПП-моделей, а также проведения имитационных экспериментов на более сложных уровнях [3, 4]. Также в работе приведена гибридная схема распараллеливания, в которой используются современные парадигмы параллельных вычислений. Кроме того, представлена схема сжатия данных для АРС, которая позволяет сократить время вычислений, затрачиваемое на интерполяции, примерно в 4 раза.	<h3 id="text_content_item_34" id="text_content_item_34" id="text_content_item_34" class="docx-publication-h3">Заключение</h3> <p>В статье приведены позиции различных стран в рейтинге суммарной производительности суперкомпьютеров. Представлена наглядная демонстрация того, что, объединение АРС с эффективными структурами данных, алгоритмом итерации по времени (который имеет дело с рекурсивным характером постановки задачи), и с гибридными вычислительными парадигмами высокопроизводительных вычислений (которые резко сокращают время расчетов), оказывается эффективным методом для решения задач, связанных с разработкой АОМ- и МПП-моделей, а также проведения имитационных экспериментов на более сложных уровнях [3, 4]. Также в работе приведена гибридная схема распараллеливания, в которой используются современные парадигмы параллельных вычислений. Кроме того, представлена схема сжатия данных для АРС, которая позволяет сократить время вычислений, затрачиваемое на интерполяции, примерно в 4 раза.</p> <h3 id="text_content_item_34" id="text_content_item_34" id="text_content_item_34" class="docx-publication-h3">Заключение</h3> <p>В статье приведены позиции различных стран в рейтинге суммарной производительности суперкомпьютеров. Представлена наглядная демонстрация того, что, объединение АРС с эффективными структурами данных, алгоритмом итерации по времени (который имеет дело с рекурсивным характером постановки задачи), и с гибридными вычислительными парадигмами высокопроизводительных вычислений (которые резко сокращают время расчетов), оказывается эффективным методом для решения задач, связанных с разработкой АОМ- и МПП-моделей, а также проведения имитационных экспериментов на более сложных уровнях [3, 4]. Также в работе приведена гибридная схема распараллеливания, в которой используются современные парадигмы параллельных вычислений. Кроме того, представлена схема сжатия данных для АРС, которая позволяет сократить время вычислений, затрачиваемое на интерполяции, примерно в 4 раза.</p>

35	Калибровка модели в сторону реалистичности воспроизведения процессов приводит к многомерным проблемам, которые до сих пор считаются неразрешимыми. Это объясняет, почему с помощью стохастических моделей МПП было проведено сравнительно небольшое количество экспериментов. В заключение, стоит отметить, что решение смешанных многомерных непрерывных/дискретных динамических стохастических экономических моделей формирует круг задач, как с точки зрения моделирования, так и с точки зрения алгоритмов вычислений.	Калибровка модели в сторону реалистичности воспроизведения процессов приводит к многомерным проблемам, которые до сих пор считаются неразрешимыми. Это объясняет, почему с помощью стохастических моделей МПП было проведено сравнительно небольшое количество экспериментов. В заключение, стоит отметить, что решение смешанных многомерных непрерывных/дискретных динамических стохастических экономических моделей формирует круг задач, как с точки зрения моделирования, так и с точки зрения алгоритмов вычислений. Калибровка модели в сторону реалистичности воспроизведения процессов приводит к многомерным проблемам, которые до сих пор считаются неразрешимыми. Это объясняет, почему с помощью стохастических моделей МПП было проведено сравнительно небольшое количество экспериментов. В заключение, стоит отметить, что решение смешанных многомерных непрерывных/дискретных динамических стохастических экономических моделей формирует круг задач, как с точки зрения моделирования, так и с точки зрения алгоритмов вычислений.

Библиография

1. Абрамов С.М. Анализ развития суперкомпьютерной отрасли в России и в мире // Программные системы: теория и приложения. Институт программных систем им. А.К. Айламазяна Российской академии наук. 2019, № 3(42).

2. Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Сушко Е.Д. Мультиагентные системы и суперкомпьютерные технологии в общественных науках // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. Радиотехника. 2017, № 5.

3. Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Сушко Е.Д., Сушко Г.Б. Моделирование социальных процессов на суперкомпьютерах: новые технологии // Вестник РАН. 2018, Том 88, №6.

4. Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Сушко Е.Д., Сушко Г.Б. Разработка агент-ориентированной демографической модели России и ее суперкомпьютерная реализация // Труды международной конференции. Суперкомпьютерный консорциум университетов России, Российская академия наук. 2018. С. 758-769.

5. Окрепилов В.В., Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Кузьмина С.Н. Применение суперкомпьютерных технологий для моделирования социально-экономических систем // Экономика региона. Институт экономики Уральского отделения РАН. 2015, № 2 (42).

6. Ракитский А.А., Рябко Б.Я. Теоретико-информационный подход к оценке производительности суперкомпьютеров // Вычислительные технологии. Институт вычислительных технологий Сибирского отделения РАН. 2018, № 1.

7. Bellman R. Adaptive Control Processes: A Guided Tour // Rand Corporation. Research studies. Princeton University Press. 1961.

8. Brumm J., Mikushin D., Scheidegger S., Schenk O. Scalable high-dimensional dynamic stochastic economic modeling // Journal of Computational Science. 2015, vol. 11.

9. Brumm J., Scheidegger S. Using adaptive sparse grids to solve high-dimensional dynamic models // Econometrica. 2017, vol. 85, № 5.

10. Bungartz H.-J., Dirnstorfer S. Multivariate quadrature on adaptive sparse grids // Computing. 2003, vol. 71.

11. Bungartz H.-J., Griebel M., Sparse grids // Acta Numerica. 2004, vol. 13.

12. David K. L. J., Bizer S. Taxation and uncertainty // The American Economic Review. 1989, vol. 79, №. 2.

13. Diamond P. A. National debt in a neoclassical growth model // American Economic Review. 1965, vol. 55, №. 5

14. Garcke J., Griebel M. Sparse Grids and Applications // Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer. 2012.

15. Jones M.T. Optimizing supercomputer resource management with SLURM // IBM. URL: https://www.ibm.com/developerworks/ru/library/l-slurm-utility/index.html

16. Judd K. L. Numerical methods in economics // The MIT press. 1998.

17. Ma X., Zabaras N. An adaptive hierarchical sparse grid collocation algorithm for the solution of stochastic differential equations // J. Comput. Phys. 2009, vol. 228, № 8.

18. Pfluger D. Spatially adaptive refinement // In Sparse Grids and Applications, ser. Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Garcke J., Griebel M. Eds. Berlin Heidelberg: Springer. 2012. pp. 243–262.

19. Reinders J. Intel Threading Building Blocks // 1st ed. Sebastopol, CA, USA: O’Reilly & Associates, Inc. 2007.

20. Scheidegger S., Mikushin D., K?ubler F., Schenk O. Rethinking large-scale economic modeling for efficiency: optimizations for GPU and Xeon Phi clusters // IEEE International Parallel and Distributed Processing Symposium. 2018. pp. 610-619.

21. Skjellum A., Gropp W., Lusk E. Using MPI // MIT Press. 1999.

Введение

Метод, основанный на адаптивных разреженных сетях.

Повышение скорости выполнения суперкомпьютером интерполяции функции на примере стохастической модели МПП.

Заключение

Библиография

Комментарии

Войти через