Введение

«Экономика» с древнегреческого дословно трактуется как «правила ведения хозяйства» [27, С. 435-436]. И в рамках ее оптимального управления необходимо грамотно уметь ее измерять. Для придания большей весомости нашей позиции процитируем крупного британского физика своего времени Уильяма Томсона (барон Кельвин) который писал следующее: «… когда Вы можете измерить то, о чем говорите, т.е. выразить это в цифрах, Вы что-то об этом знаете. Но если нет, то ваше знание ограничено и неудовлетворительно. Это может быть зачатком знания, но едва ли истинным, каким-бы ни был предмет исследования» [41, С. 73-74].

Схожие мысли озвучил известный французский философ и математик своего времени Рене Декарт, которые в некоторой интерпретации звучат как: «Задача любого вида сводится к математической задаче» [34, С. 8]. Хоть данная цитата и упоминается в различных источниках информации, в том числе в неких свежих методических рекомендациях «Методология математических исследований» за авторством белорусских ученых в лице д.ф-м.н. Трубникова Ю.В., к.ф-м.н. Подоксёнова М.Н. и Чернявского М.М., являющегося преподавателем-стажером кафедры геометрии и математического анализа ВГУ имени П.М. Машерова. Согласно Трубникову Ю.В. и его коллективу [34, С. 8] рассматриваемые тезисы должны фигурировать либо в работе Декарта Р. «Правила для руководства ума» [12, С. 77-153], либо в его рукописи «Рассуждение о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках» [12, С. 250-296]. В общих чертах идею данных текстов можно охарактеризовать как обоснование превалирования математического познания над другими его формами.

О математической природе рассуждений и размышлений в частности говорит в своей работе [32] белорусский д.пед.н. Столяр А.А. При этом он явно указывает на то, что подобным образом мы можем избавиться от предрассудков и заблуждений, выйдя тем самым на дорогу истины вещей, которые нас интересуют.

И приведем еще одну цитату советского математика и учителя небезызвестного Григория Перельмана д.ф-м.н. Александрова А.Д. из его тезисов «От дважды два до интеграла» [4, C. 633], где он писал: «Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса». К сожалению, в гуманитарных науках подобное не редкость, и к пониманию сути изучаемых проблем и вопросов нисколько не приближает.

При возможности корректной количественной оценки социально-экономического процесса или явления могут быть построены их точные и действительно достоверные модели (о понятии «точности» и «достоверности» можно узнать в книге Уилана Чарльза «Голая статистика» [35, С. 62] или краткой выжимке по ней, написанной к.ф-м.н. Багузиным С.В. [6]), за создание и реализацию которых в свою очередь ответственна математика. Данный раздел в науке также носит название математической экономики.

Несмотря на все вышесказанное, ситуация не такая однозначная, как может показаться. Дело в том, что задачи экономики крайне обширны, а математические методы столь же неохватны. В этой связи на различные сложные проблемы можно взглянуть под разным ракурсом. Ситуация еще осложняется тем, что экономика – наука гуманитарная, т.е. напрямую связанная с жизнедеятельностью человека. А так как человек может очень быстро и кардинально меняться в аспекте своего существования, то вроде бы выведенные объективные законы, описывающие людской уклад и быт, могут довольно быстро оказаться не актуальными.

Таким образом математические методы позволяют найти оптимальные решения лишь в краткосрочной перспективе. Несмотря на это, их все равно следует уметь искать, так как это позволяет несколько уменьшить потенциальный ущерб и риски, иными словами – рационализировать свою деятельность.

Разделы математической экономики

В рамках математической экономики можно выделить следующие направления [36, 11:00-12:00]:

1.1. Оптимизационные задачи

Классические задачи экономики, подразумевающие извлечение наибольшей выгоды из сложившейся ситуации, обусловленной ограниченными ресурсами. Так как это довольно древнее направление, то и изучено оно обширно (самыми известными работами в этом ключе являются МОБ Леонтьева В.В. [21] и труды Канторовича Л.В. [16]).

В прикладном аспекте проблемой является правильная формализация рассматриваемой ситуации, с которой действительно можно работать и как-то повлиять на нее. Еще одной проблемой выступает некая многокритериальность, когда в рамках решаемой задачи мы одновременно преследуем несколько целей, которые в той или иной мере могут противоречить друг другу (базовыми принципами в оптимизации многокритериальных задач выступают оптимумы по Парето, Слейтеру, Сэвиджу, свертка и др.).

1.2. Теория игр

Это дисциплина, которая ищет оптимальные решения действий субъектов в условии их противодействия друг другу (базовым принципом оптимизации нарекли равновесие по Нэшу). Фундаментальной работой в этом направлении является книга Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» [13]. Также отметим, что интересным ответвлением в рамках данной дисциплины является поиск правил и условий ситуации, которые предопределят заданное поведение конкурирующих хозяйствующих субъектов. Основной проблемой опять выступает корректная и правильная формализация исследуемого процесса или явления на язык теории игр. В настоящий момент большинство теоретико-игровых задач довольно примитивно описывают реальную ситуацию. А в случае, когда предпринимаются попытки учесть большое количество воздействующих факторов, становится сложно интерпретировать работу построенной модели.

1.3. Финансовая математика

Данное направление сопряжено со случайными процессами, посредством которых описывают финансовые операции, работу фондовых и валютных бирж, сущность котировок. Монументальный труд по этим вопросам написан акад. РАН д.ф-м.н. Ширяевым А.Н. и опубликован в виде двухтомной монографии [38; 39]. Так как финансовая математика описывается через инструментарий вероятностей, то основная проблема, которая здесь таится, связана с невозможностью прямого воздействия на финансовые процедуры. Мы как бы пытаемся их как можно точнее описать, чтобы в перспективе что-то выиграть или потерять не слишком много.

* Производственные функции

Данный раздел математической экономики упоминается Шаминым Р.В. как имеющий слабое прикладное значение и отражение в реальной действительности [36, 30:00-32:00]. При наличии некоторой статистики по производственному процессу посредством этих функций он может быть своеобразно описан. Самым известным примером производственной функции, наверное, может считаться функция Кобба-Дугласа [10, С. 66].

Довольно молодым, но уже и довольно обширным разделом математической экономики определяют такую дисциплину как эконометрика. Ее появление и развитие связано с глобальной цифровизацией человеческой жизнедеятельности и применением методов математической статистики в отношении большого количества данных, возникающего из-за этого.

Современное состояние эконометрики в некоторой мере критикуется Шаминым Р.В. [36, 31:00-36:00] из-за чрезмерного использования в ней инструментария регрессионного анализа. С этой позицией я также согласен, так как регрессия хоть и может моделировать, и описывать социально-экономические процессы, но зачастую только применительно к каким-то их не сложным вариантам. Несмотря на это в данном направлении есть очень серьезные монументальные научные труды [1-3], например, за авторством д.ф-м.н. Айвазяна С.А.

По-настоящему современная математическая экономика имеет свое развитие в методах машинного обучения и искусственного интеллекта. Об этом мной было сделано упоминание в 2018 г. в журнале «Искусственные общества» [5]. В настоящий момент в рамках этого развиваются следующие направления:

2.1. Автоматизация оптимизации

В данном аспекте разрабатываются универсальные алгоритмы поиска оптимальных решений без учета четкой формализации рассматриваемой ситуации, возможностью быстрой и оперативной смены цели, а также наличием большого количества слабо структурированных факторов.

2.2. Эволюционные (генетические) модели

Концепция подобных идей носит эвристический характер (при правильном применении подобные модели зачастую приносят успех, но не всегда) и взята из наблюдений за биологическими системами. В ее основе лежит эмпирический отбор успешных практик с их последующим видоизменением и повторным отсеиванием внутри новообразованной группы.

2.3. Развитие алгоритмов обработки и анализа данных

В некоторой мере это прямое развитие классической эконометрики, выраженное в использовании в ней других существующих и успешных практик математической статистики, применение нейросетей.

2.4. Data Mining (Big Data)

Разработка методов и алгоритмов по извлечению каких-либо данных по интересующему нас вопросу из цифровой среды, а также его предварительная техническая обработка и структуризация.

2.5. Моделирование процесса обучения

Создание цифровых объектов, которые нас интересуют, со способностью похожей на человеческий процесс обучения. В некоторой мере это позволяет работать с вещами, о которых у нас мало информации, а также в тех случаях, когда мы до конца не понимаем всей сути процесса, в рамках которого приходится принимать ответственные управленческие решения.

То, что представлено выше, не единственный вариант развития математической экономики. Также выделены некоторые направления, которые в настоящий момент  развиваются и могут быть применены как в рамках классичских инстурментов, так и алгоритмах ИИ.

3.1. Квантовые вычисления

Довольно новое направление, сопряжено с попытками переноса закономерностей микромира на некоторые гуманитарные процессы и явления. В свое время становление квантовой механики в физике сделало определенный прорыв в ее развитии, о чем, к примеру, говорит в своем интервью [17] акад. д.ф-м.н. Козлов В.В. Аналогичные надежды на это направление возложены и в рамках экономики с социологией.

Яркими представителями, которые сделали определенные шаги в этом направлении являются сотрудник ЦЭМИ и главный редактор журнала «Цифровая экономика» д.э.н. Козырев А.Н. [18; 19], а также российский акад. [23] д.ф-м.н. Маслов В.П. В какой-то мере второго ученого можно считать родоначальником направления квантовой экономики в России.

РФ является не единственным государством, где на академическом уровне начали заниматься этой темой. В своих исследованиях канадский математик Дэвид Джон Оррелл показывает перспективы квантовых вычислений в управлении сложными системами. Одну из его работ [26] перевел на русский язык упомянутый выше Козырев А.Н.

3.2. Роевый интеллект

Интересным направлением, связанным с появлением агентных систем, является так называемый роевый интеллект. Его идея заключается в том, что различные объекты, работающие и функционирующие отдельно друг от друга, при взаимодействии между собой начинают самоорганизовываться, а затем слажено работают как цельный единый организм. При целенаправленном моделировании роевого алгоритма основу для их создания берут из наблюдений за биологическими системами: организация пчел, живых клеток, капель воды, муравьиный алгоритм. Последний хорошо описан и разработан в исследованиях [40] украинского ученого д.т.н. Штовбы С.Д.

3.3. Эвристические методы

Также отдельным пунктом стоит отметить эвристические алгоритмы, в своем решении опирающиеся на жизненный опыт и практику людей, вследствии чего они могут привести как к положительному, так и к отрицательному результату. Их использование в рамках экономики и социологии обусловлено сложностью и многогранностью гуманитарных систем, в рамках которых также приходится принимать довольно быстрые и оперативные решения. Хорошей книгой по этой теме является учебное пособие д.соц.н. Толстовой Ю.Н. «Измерение в социологии» [33]. В ней в большом количестве доступно изложена суть различных эвристических методов.

Также в этой связи хочу отметить вологодского педагога и к.ф-м.н. Матвеева Н.С., в пособиях [24, С. 4-5] которого в понятной форме представлены методы парных сравнений и Дельфи. Первый служит для ранжирования объектов, сущность которых сложно формализовать, а второй для отсеивания экспертных суждений, сильно отличающихся от мнения большинства. Более подробно о методе Дельфи можно ознакомиться в статье Кукушкиной С.Н. «Метод Дельфи в Форсайт-проектах» [20].

3.4. Модели на естественном языке

Еще одним характерным моментом для моделирования гуманитарных процессов и явлений является то, что они могут довольно доступно описываться обычным естественным языком: человеческая речь, тексты, изображения. И до настоящего момента подобные вещи считались не поддающимися математике и обозначались как уникальные свойства человека, отличающие его от машины, позволяющие ему заниматься творчеством. С развитием вычислительной техники граница между естественным и искусственным интеллектом стала  меньше и теперь есть эффективные математические инструменты, способные извлекать из конкретных примеров языка знания и строить на основании этого оперативные оптимальные решения. Но предпосылки к этому сформировались довольно давно и с некоторыми их примерами можно ознакомиться:

• в работе [25, С. 327-374] д.ф-м.н. Орлова Ю.Н. и к.ф-м.н. Осминина К.П., одна из глав которой демонстрирует наличие закономерностей в литературных текстах;
• в работе [28, С. 97] д.т.н. Растригина Л.А. где описывается концепция семиотических моделей, которые являются некой пограничной формой записи между естественным и формализованным математическим языком;
• в лекции по нечеткой логике [37] д.ф-м.н. Шамина Р.В., посвященной принятию управленческих решений на основе не однозначных детерминированных оценок, а за счет качественных суждений.

О более современных подходах к обработке и анализу языка советую обратиться к курсу лекций [30] к.т.н Созыкина А., где он в доступной форме объясняет специализированные категории данной тематики и показывает примеры работы с ними посредством компьютера.

Как старые, так и новые направления применения математики в экономике не противоречат устоявшейся классификации решаемых в ней задач. Фундаментальными столпами в этой градации выступают:

1. Исследование операций. В рамках решения данных задач мы оказываем непосредственное воздействие на объект нашего интереса. При этом управленческие решения принимаются как-бы в замкнутых условиях, которые нам полностью подконтрольны и подвластны. Доступный вход [7-9] по данной теме дает к.ф-м.н. Бояршинов Б.С.
2. Теория игр. Здесь мы точно так же оказываем воздействие на интересующие нас объекты, но отличием от исследования операций является то, что против нас выступают противоборствующие силы, на которые мы не можем прямо повлиять. Понятное введение [29] в данную тему можно получить из курса новоиспеченного чл.-кор. РАН д.ф-м.н. Савватеева А.В.
3. Математическая статистика. В данном разделе обособились задачи по правильной интерпретации, окружающей нас информации, в соответствии с которой мы предпринимаем какие-либо действия, чтобы в перспективе выиграть или меньше проиграть. Замечательный курс по этой теме составлен Емелиным А. в формате блиц [15], а также для тех, кто не спешит, в более расширенном и развернутом виде [14].

Заключение

Подводя итог стоит отметить, что грамотный и толковый экономист в обязательном порядке в рамках своей деятельности должен руководствоваться математическими принципами и законами. И помимо имеющихся наработок в рамках математической экономики появляются ее новые инструменты, позволяющие принимать более качественные и эффективные управленческие решения, которые нужно оперативно подхватывать и быстро внедрять в свою практику. Экономист – это всесторонне развитый специалист, который наряду с физиками, химиками и биологами не должен им сильно уступать в математических познаниях, а где-то и переигрывать их (как, собственно, и представители других различных научных направлений также должны хорошо ориентироваться в социально-экономических процессах). Подобных воззрений также придерживается глава Сбербанка Герман Греф [11], который в своем интервью предъявил аналогичные требования и к математикам с программистами.

В заключении, чтобы хоть как-то порадовать тех, кому я предъявляю в обязательном порядке разбираться в перипетиях высшей математики приведу еще одну цитату английского учителя математики нашего времени Уолтера Уорвика Сойера, который написал: «Следует помнить, что в каком-то смысле высшая математика проще элементарной. Исследовать, например, лесную чащу пешком очень трудно, с самолета это делается проще» [31, С. 6]. Это будет вашей наградой за ваш труд.

Математика окружает нас в повседневной жизни повсюду, надо лишь уметь замечать ее вездесущность. Об этом в частности пишет математик Микаэль Лонэ в своей новой книге «Теорема зонтика» [22]. Экономика точно также, как и другие объекты нашей жизни, несет в себе математическую природу, в связи с чем к ней применимы различные абстрактные инструменты мышления, позволяющие нам найти однозначно правильные и идеальные решения.